Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N}$

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung:

$(x+y)^{n}=f(x,y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad (1)$

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert:

${n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$

(n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n)

Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. (Pascalsches Dreieck)

Für jedes konkrete n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel eines Binomes:

$(x+y)^{3}={3 \choose 0}x^{3}+{3 \choose 1}x^{2}y+{3 \choose 2}xy^{2}+{3 \choose 3}y^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha -k}\quad (2)$

Diese Reihe ist im Fall, dass α nicht positiv und ganzzahlig ist, konvergent für alle $x,y\in \mathbb {C}$ mit $|x/y|<1$.

Für $\alpha \in \mathbb {N}$ geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle $x,y\in \mathbb {C}$ und alle $n\in \mathbb {N}$.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}$

(Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.)

Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.

Weiterführende Literatur

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.