Hypergeometrische Differentialgleichung

Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

$x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y=0,\ \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \ .$

Ist $-\gamma \notin \mathbb {N} _{0}$, so erhält man mit einem Potenzreihenansatz $y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ die Rekursionsformel für die Lösung

$a_{n+1}={\frac {(\alpha +n)(\beta +n)}{(1+n)(\gamma +n)}}a_{n}\ .$

Setzt man beispielsweise $a_{0}=1$, so erhält man als Lösung die hypergeometrische Reihe

$y(x)=F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)=1+{\frac {\alpha \beta }{1!\gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{2!\gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots \ .$

Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius $R=1$.

Mit der hypergeometrischen Funktion $F(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)$ können viele andere Funktionen dargestellt werden:

$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$z$	$F(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)$
$1$	$\beta$	$\beta$	$x$	$1/(1-x)$
$-p$	$1$	$1$	$-x$	$(1+x)^{p}$
${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{2}}$	$x^{2}$	${\frac {\arcsin(x)}{x}}$
$1$	$1$	$2$	$x$	$\ln \left(1-x\right)$
$1$	$\infty$(*)	$1$	${\frac {x}{\beta }}$	$\exp {(x)}$
$n+1$	$-n$	$1$	${\frac {1-x}{2}}$	$P_{n}\left(x\right)$(**)

^(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.

^(**)Das $n$-te Legendre-Polynom, $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Die hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur heunschen Differentialgleichung.

Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

Diese Differentialgleichung besitzt die Form

$\ zu''+(\beta -z)u'-\alpha u=0\ .$

Für $-\beta \notin \mathbb {N} _{0}$ wird die Differentialgleichung durch die kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer,

$K(\alpha ,\beta ,x)=1+{\frac {\alpha }{1!\beta }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!\beta (\beta +1)}}x^{2}+\cdots$

gelöst.