Freier Fall

Freier Fall tritt dann ein, wenn sich ein Körper unter Einfluss der Gravitation ohne weitere Kräfte bewegt. Bei niedrigen Geschwindigkeiten, wenn die Reibung der Luft vernachlässigt werden kann, ist dies auch in der Nähe der Erdoberfläche möglich.

Geschichte

Der griechische Philosoph Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich schwere Körper nach unten, leichte wegen "ihrer Leichtigkeit" nach oben.

Erst Galileo Galilei (1564 - 1642) versuchte als einer der ersten Experimentalphysiker, durch Experimente die Fallbeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und "verlangsamte" Bewegungen, indem er eine Kugel eine Rinne hinunterlaufen ließ. Als Zeitmesser hatte er einen Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen.

Robert Boyle bestätigte 1659, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton (1643 - 1727) formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt.

Die allgemeine Formel lautet:

$s(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Das Minuszeichen bezieht sich auf einen abwärts fliegenden Körper.

Beispiel für Freien Fall

Ein Gegenstand, der von einem Hochhaus fällt, wird immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung ist größer als die eines Autos.

Nach einer Sekunde hat er die Geschwindigkeit von v = 35 km/h (9,81m/s), nach zwei Sekunden 71 km/h (19,62 m/s), nach drei Sekunden 106 km/h (29,43 m/s). Die Fallbeschleunigung beträgt also g = 9,81 m/s².

Auf der Erdoberfläche beträgt die Normal-Fallbeschleunigung im Mittel g = 9,80665 m/s² (DIN 1305), variiert aber wegen der Erdabplattung, der Erdrotation und in Abhängigkeit von der Höhe über Normal-Null um einige Promille. Häufig wird jedoch grob mit dem Wert g = 9,81 m/s² gerechnet.

Beim freien Fall in Erdnähe vergrößert sich die Geschwindigkeit also um 9,81 m/s in jeder Sekunde. Der freie Fall ist damit ein Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Differentialgleichungen des freien Falls

Freier Fall ohne Reibung

$m{\ddot {z}}=mg$

Division durch m und einmalige Integration führt auf

${\dot {z}}=gt+v_{0}$

mit der Integrationskonstante $v_{o}$ als Anfangsgeschwindigkeit

Nochmalige Integration ergibt schließlich

$z(t)={\frac {g}{2}}t^{2}+v_{0}t+z_{0}$

mit der Integrationskonstanten $z_{0}$ als Anfangsweg.

Freier Fall mit Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

${\overrightarrow {F}}_{R}\sim -{\overrightarrow {v}}$

oder

${\overrightarrow {F}}_{R}=-\beta {\overrightarrow {v}}$

Die Differentialgleichung für die z-Komponente lautet somit

$m{\ddot {z}}=mg-\beta {\dot {z}}$

wobei man wegen ${\dot {z}}=v$ auch schreiben kann:

$m{\dot {v}}=mg-\beta v$

Schreibt man nun ${\dot {v}}$ als ${\frac {dv}{dt}}$ und löst die Gleichung nach dem Differential $dt$ auf, so ergibt sich:

$dt={\frac {m\,dv}{mg-\beta v}}$

Integration dieser Gleichung führt auf

$t-t_{0}=\int _{v_{0}}^{v}{\frac {m\,dv^{\prime }}{mg-\beta v^{\prime }}}$

Mit den speziellen Anfangsbedingungen $v(t=0)=v_{0}=0$:

$t=\int _{0}^{v}{\frac {m\,dv^{\prime }}{mg-\beta v^{\prime }}}$

Dieses Integral lässt sich lösen durch die Substitution

$mg-\beta v^{\prime }=u$

und

$dv^{\prime }=-{\frac {du}{\beta }}$

Somit ergibt sich

$t=-{\frac {1}{\beta }}\int _{u(0)}^{u(v)}{\frac {du}{u}}$

und folglich

$-\beta t=\ln {\frac {u(v)}{u(0)}}=\ln {\frac {mg-\beta v}{mg}}=\ln(1-{\frac {\beta v}{mg}})$

Exponieren und Auflösen dieser Gleichung nach v ergibt dann:

$v=v(t)={\frac {mg}{\beta }}(1-e^{-\beta t})$

Offensichtlich ist

$\lim _{t\to \infty }v(t)=v_{\infty }={\frac {mg}{\beta }}$

die Grenzgeschwindigkeit die sich einstellt, wenn Gravitationskraft und Reibungskraft sich schließlich die Waage halten. Dieses Ergebnis passt besser zu unserer Alltagserfahrung, in der die Fallgeschwindigkeit -wegen des Luftwiderstands- von der Masse abhängt.

Nochmalige Integration von $v(t)$ mit der Anfangsbedingung $z(t_{0}=0)=z_{0}=0$ ergibt schließlich das Weg-Zeit Gesetz für der freien Fall mit Stokes-Reibung:

$z(t)={\frac {mg}{\beta }}(t-{\frac {m}{\beta }})(1-e^{-\beta t})$