Diskussion:Zufallsvariable

Mathematische Korrektheit bzgl. Abbildungen

Im Bereich der Definition wird mMn die mathematische Korrektheit etwas vernachlässigt. Beispielsweise wird hier die Zufallsvariable als Abbildung $X:\Omega \to \Omega '$ beschrieben und anschließend gesagt, dass sie nun in den Raum $(\Omega ',\Sigma ')$ abbildet. Es kann ja nur eins von beiden richtig sein! Aber auch in anderen Punkten widerspricht sich der Artikel hier. Ich würde vorschlagen, dass jemand, der sich damit auskennt das mal korrigiert ;) - Ich selbst weiß leider auch nicht, was da jetzt richtig ist, insofern lasse ich es lieber so, als es falsch zu ändern.

Verstehe ich nicht. $(\Omega ',\Sigma ')$ ist ein Messraum, also ein Menge und eine sigma-Algebra. --Scherben 15:48, 28. Jun. 2007 (CEST)

Ja, das ist nicht überall klar formuliert. $X$ ist eine Abbildung von einer Menge $\Omega$ in eine Menge $\Omega '$. Diese Mengen müssen jedoch mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet sein, den Mengen $\Sigma$ und $\Sigma '$ der messbaren Teilmengen von $\Omega$ bzw. $\Omega '$ (Ereignis-σ-Algebra). Eine Zufallsvariable zeichnet sich dadurch aus, dass sie mit dieser Struktur in der Weise verträglich ist, dass für jede Menge $A\in \Sigma '$ die Menge $X^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A\}$ in $\Sigma$ enthalten sein muss. Nur dann kann man nämlich Wahrscheinlichkeiten von der Form $P(X\in A)$ ($=P(X^{-1}(A))$) berechnen (sofern man ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\Omega ,\Sigma )$ gegeben hat). Um die Abhängigkeit von $\Sigma$ und $\Sigma '$ zu betonen, spricht von auch von einer Zufallsvariable von $(\Omega ,\Sigma )$ in/nach $(\Omega ',\Sigma ')$ oder von einer $\Sigma$-$\Sigma '$-messbaren Zufallsvariable $X:\Omega \to \Omega '$ oder ähnlichem. In der Praxis ist aber meistens ohnehin klar, welche Mengen man für $\Sigma$ und $\Sigma '$ verwendet (die Borelsche σ-Algebra der Standard-Topologie), so dass man sich darum nicht zu kümmern braucht. Andererseits spielt die von $X$ erzeugte σ-Algebra, die minimal gewählte Menge $\Sigma$ bei vorgegebenem $\Sigma '$, öfter eine Rolle. Mathematisch gesehen sind Zufallsvariablen einfach messbare Funktionen von einem Messraum, insbesondere einem, der mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ausgestattet ist, in einen anderen Messraum. Grüße --RSchlicht 18:09, 28. Jun. 2007 (CEST)

Aber eigentlich steht es ja so auch jetzt schon in der Definition!? --RSchlicht 18:20, 28. Jun. 2007 (CEST)

Zumindest sind aber zwei Teile des Beispiels zur Definition nicht korrekt:
1. Der Grundraum $\Omega$ besteht nicht aus den Elementen {Kopf} und {Zahl}, sondern aus Kopf und Zahl, d.h. $\Omega$ = {Kopf,Zahl}. Die Sigma-Algebra $\Sigma$ ist in diesem Fall die Potenzmenge von $\Omega$, d.h. $\Sigma$ = { $\emptyset$ , {Kopf} , {Zahl} , $\Omega$}.
2. der Teil des Beispiels P( Kopf ) = P( Zahl ) = 1/2 so nicht richtig. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist nämlich nicht auf der Grundmenge $\Omega$, sondern auf der Sigma-Algebra $\Sigma$ definiert. Deshalb muss es heißen P( {Kopf} ) = P( {Zahl} ) = 1/2. Man muss zwischen den Einermengen {Kopf} bzw. {Zahl}, die zur Sigma-Algebra $\Sigma$ gehören, und den Elementen Kopf bzw. Zahl, die zur Grundmenge $\Omega$ gehören, unterscheiden. --BJ --88.74.157.232 04:25, 18. Jul. 2007 (CEST)

Stimmt. Ich habe es entsprechend korrigiert. Einverstanden? --NeoUrfahraner 08:29, 18. Jul. 2007 (CEST)

Ja, danke. Ich bin neu hier und wollte nicht selbst "Hand anlegen". Ob ich mich mal anmelde, weiß ich noch nicht so genau, wenn ich mir die Art und Weise und den Ton so mancher Diskussion ansehe. Manchmal scheint es mir so, dass - wie im real live - der, der am lautesten schreit, zwar nicht immer die besseren Argumente hat, am Ende aber doch obenauf bleibt. Mal noch ein paar Bemerkungen zum Artikel "Zufallsvariable", ich rücke dazu wieder aus:

In fast allen Lehrbüchern wird bei Behandlung dieses Themas mit reellen Zv. begonnen. Das hat mindestens zwei Gründe: 1. kommen in der übergroßen Anzahl von Anwendungen gerade diese Zv. vor (danach kommen noch die mehrdimensionalen reellen Zv., dann lässt es in wirklichen Anwendungen schon rapide nach), und 2. kann man durch Beschränkung auf reelle Zv. das Thema mit wesentlich mehr Verständnis behandeln. Wenn man das Thema so wie hier im Bourbaki-Stil gleich in der größtmöglichen Allgemeinheit behandelt, kann man - insbesondere gerade bei Nicht-Mathematikern - leider nicht mit dem vollen Verständnis rechnen, außerdem entfernt man sich viel zu weit von möglichen praktischen Anwendungen. Es sollte vielleicht mal überlegt werden, ob man "back to the roots" geht, das Thema "elementar" behandelt und vielleicht am Ende darauf hinweist, dass man das alles noch allgemeiner machen kann. - Inzwischen habe ich mir den Beitrag noch einmal in aller Ruhe angesehen und habe festgestellt, dass da so einiges nicht ganz klar und sauber geschrieben ist. Leider fehlt mir im Moment etwas Zeit, aber bei nächster Gelegenheit werde ich mich noch einmal melden. --Jesi 11:50, 22. Jul. 2007 (CEST)
Das habe ich jetzt mal getan. Da es mehrere Diskussionsbeiträge betraf, habe ich mir erlaubt, einen neuen Diekussions-Absatz anzufangen. --Jesi 11:50, 22. Jul. 2007 (CEST)

Einleitendes Beispiel

Das einleitende Beispiel mit dem Münzwurf incl. Funktionsdefinition halte ich für wichtig, da der Laie (für den der einleitende Abschnitt vor allem gedacht ist) eine Vorstellung von einer Zufallsvariablen bekommt.

Definition: Schreibweise $P(X\in A)$

Die Schreibweise $P(X\in A),P(X<Y)$, etc. sollte auf jeden Fall im Zusammenhang mit Zufallsvariablen definiert werden, da sie auf dieser Seite und in anderen Einträgen ständig verwendet wird (siehe z.B. Wahrscheinlichkeitsverteilung). Ich habe sie daher wieder eingefügt. Die andere Schreibweise $\{X\in A\}$ ist natürlich auch üblich, aber nicht ganz so häufig anzutreffen, ich habe sie jetzt erst einmal der Übersichtlichkeit halber weggelassen.

Ferner habe ich "Maßraum" in der formalen Definition wieder durch "Messraum" ersetzt ("Maßraum" ist falsch, siehe Maßtheorie).

Ein ganz anderer Punkt: Die Berechnung der Verteilungsfunktion im Abschnitt "Funktionen von Zufallsvariablen" ist unübersichtlich, und vielleicht auch eher ein Beispiel für die Seite "Verteilungsfunktionen". Abgesehen davon ist die Sache fehlerhaft -- die Verteilungsfunktion ist durch $P(...\leq y)$ definiert, nicht durch $P(...\,<y)$. Es wäre wahrscheinlich eine Verbesserung, den Bezug zu Verteilungsfunktionen ganz zu entfernen und stattdessen ein einfaches Beispiel dafür anzugeben, dass eine messbare Funktion angewendet auf eine Zufallsvariable wieder eine Zufallsvariable ist.

--133.5.161.2 02:07, 23. Aug 2005 (CEST)

Die Schreibweisen $P(X\in A),P(X<Y)$ betreffen nicht die Zufallsvariablen selbst, sondern die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsvariablen. Ich plädiere dafür, auf dieser Seite kurz vorzustellen (evtl. ein Unterkapitelchen "Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen"), dass es zu jeder Zufallsvariable eine zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt, u. die Schreibweisen dort zu klären.--JFKCom 11:42, 23. Aug 2005 (CEST)

Das ist eine gute Idee, ich habe jetzt einen Abschnitt "Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen" erstellt und auch die Anmerkung und das Beispiel aus "Weiterführendes" eingearbeitet, kann aber wahrscheinlich noch verbessert werden. --133.5.161.2 01:44, 24. Aug 2005 (CEST)

Definition: reelle Zufallsvariable

Hier sollte auf einen allzu tiefen Rückgriff auf die Maßtheorie verzichtet werden. Es ist durchaus üblich die reellen Zufallsvariablen einzuführen, ohne mehr als das aufgezeigte Wissen zur Maßtheorie vorauszusetzen.

Meine Formulierung war vielleicht etwas formal, aber richtig. Was Du über Elementarereignisse schreibst:

"Damit die Messbarkeitsbedingung erfüllt ist, wird noch folgendes verlangt $\forall x\in \mathbb {R} \ \exists A\in \Sigma :\ A=\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace$ Das bedeutet, dass alle Elementarereignisse, deren Realisation unterhalb eines bestimmen Wertes liegt, ein Ereignis bilden müssen.", ist erstens ungeschickt, denn es soll nicht ein $A\in \Sigma$ existieren, das gleich der Urbildmenge ist, sondern die Urbildmenge selbst soll schlicht und einfach eine Teilmenge von $\Sigma$ sein. Ohne die Borel-sigma-Algebra auf $\mathbb {R}$ zu benennen, kannst Du auch dem Leser nicht klar machen, welche Messbarkeitsbedingung nun erfüllt sein soll. Es gibt auf $\mathbb {R}$ sogar Messbarkeitsbegriffe, bei denen die von Dir zitierten Elementarereignisse gar keine Ereignisse sind! Gerade deshalb finde ich auch deinen letzten Satz so ungeschickt, denn bei den Urbildmengen der halbseitig unbeschränkten Intervalle geht es überhaupt nicht um Elementarereignisse, sondern einfach um Elemente des Urbildraums $\Omega$. Ich bin auch ein Freund von einfachen Formulierungen, aber richtig sollten sie sein.--JFKCom 00:07, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Die Urbildmenge soll ein Element von Σ sein. Damit ist sie eine Teilmenge von Ω. Elemente des Urbildraums Ω sind gerade Elementartereignisse. Das $\mathbb {R}$ mit der Borelschen σ-Algebra ausgestattet sein muss, habe ich nun reingeschrieben. Ich bin der Meinung, dass die Definition jetzt korrekt ist. Was sagst du dazu? --Squizzz 20:41, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich möchte ja unser Gesprächsklima nicht eintrüben, und dein neuer Vorschlag ist ja echt besser geworden. Was ich jetzt immer noch ein bißchen zu meckern habe, sind zwei Dinge: a) $\forall x\in \mathbb {R} \ \exists A\in \Sigma :\ A=\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace$ würde ich immer noch durch $\forall x\in \mathbb {R} :\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma$ ersetzen, weil ich letzteres klarer finde. b) Deine Def. der reellen ZV beginnt zunächst ohne Messbarkeit, und sie ist hinsichtlich der Elementarereignisse um die Ecke gedacht. Ich versuche, das nochmal zu erklären: Eine ZV wurde allgemein bereits weiter oben erklärt. Jetzt handelt es sich nur noch darum, vom Spezialfall $\Omega '=\mathbb {R}$ mit der Borel-sigma-Algebra zu sprechen (ich bin mit dir einig, dass wir die noch formalere Schreibweise $(\Omega ',\Sigma ')=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1})$ dem Leser hier ersparen können, das kann er beim Link zur Borel-sigma-Algebra je nach Lust vertiefen). Dann ist klar, dass $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\omega \mapsto X(\omega )$ zusammen mit der passenden Messbarkeitsbedingung vorliegt, die wir mit einer vereinfachten Variante nachprüfen dürfen (es gäbe übrigens auch andere Varianten als die mit den links-unbeschränkten rechts-abgeschlossenen Intervallen). Warum mir das mit den Elementarereignissen nicht gefällt: Nur im Falle einer diskreten ZV (d.h. wenn $\Omega '$ abzählbar ist) kann man jedes Element $\omega \in \Omega$ echt problemlos mit seinem entsprechenden Elementarereignis $\{\omega \}\in \Sigma$ identifizieren. Im überabzählbaren Bereich gibt es viele knifflige Aspekte die Elementarereignisse betreffend, und damit sprichst du bereits während der Definition einer reellen ZV einen Aspekt an, der eher in den Background der Hintergrund-Infos zu Meßbarkeitsfragen auf $\mathbb {R}$ gehört (denke hier z.B. an das für den Nicht-Stochastiker schwierige Paradoxon, dass jedes Elementarereignis in einem W-raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1},P)$ mit z.B. der identischen ZV $X:\omega \to \omega$ die Wahrscheinlichkeit 0 hat, und die Vereinigung aller Elementarereignisse zweifellos ganz $\mathbb {R}$ ergibt. Trotzdem ist $P(X\in \mathbb {R} )=1$. Was ich sagen will: Eine reelle ZV bildet nun mal zunächst nicht die Elementarereignisse $\{\omega \}$ (die einelementige Mengen sind), sondern die Elemente $\omega$ in reelle Zahlen ab. Wenn man später über Eigenschaften von reellen ZV (oder auch von diskreten ZV, wovon wir tatsächlich noch was nachdichten sollten) reden, dann kann diese Identifikation der $\{\omega \}$'s mit ihren Elementarereignissen sinnvoll zur Sprache kommen.--JFKCom 21:56, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Keine Angst mit mir kann man reden :-) Deine Formel bau ich gleich ein. Die ist wirklich einfacher verständlich. Das Problem bei der Definition ist, dass man in der Wahrscheinlichkeitstheorie zuerst die reellen Zufallsvariablen einführt, dann zu den mehrdimensionalen übergeht und später evtl. noch andere. Die maßtheoretischen Aspekte werden eher im Vorbeigehen behandelt. Vom Standpunkt der Maßtheorie aus ist es natürlich viel einfache alles als Spezialfall der allgemeinen Definition zu betrachten. Ich mach mir mal 'nen Kopf wie man diesen Widerspruch vielleicht auflösen kann. Kann aber bis Dienstag nächster Woche dauern. --Squizzz 23:01, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Ich habe noch einige Umstellungen vorgenommen. Auf das Problem mit der Mehrdeutigkeit des Begriffs Elementarereignis werde ich noch im entsprechenden Artikel eingehen. *gedankenblitz* In diesem Artikel werde ich jetzt noch alle Elementarereignis in Ergebnis umbenennen. --Squizzz 22:10, 16. Aug 2005 (CEST)

Eigenschaften von Zufallsvariablen

Die Eigenschaft stetig sollte drin bleiben, auch wenn die Definition simpel ist. Doch jemand der hier nachschaut will evtl. nur kurz eine Bestätigung seiner Vermutung. Warum sollten wir ihm diese Hilfestellung verweigern.

Äh, nochmal: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion (wenn auch eine spezielle, weil sie die Messbarkeitsbedingung erfüllen muss). Sie ist genau dann stetig, wenn sie als Funktion stetig ist. Ob ihre Verteilungsfunktion stetig ist, ist eine ganz andere Sache und hat aber auch gar nichts mit der Stetigkeit der Zufallsvariable zu tun. Was Du hier reingeschrieben hast, ist einfach mathematisch falsch.--JFKCom 23:53, 9. Aug 2005 (CEST)

Antwort: *schäm* hast Recht. Auf das Detail habe ich gar nicht mehr geachtet. --Squizzz 23:57, 9. Aug 2005 (CEST)

Es ist allgemein üblicher Sprachgebrauch in der Stochastik, dass man eine Zufallsvariable als stetig bezeichnet, wenn ihre Verteilung eine Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß besitzt. Was anderes habe ich noch nie gesehen. Das ist übrigens auch in dem angegebenen Weblink zu dem Wikibook so und auch im verlinkten Wikipedia-Artikel über Varianz. Um Stetigkeit einer Zufallsvariablen als Stetigkeit der meßbaren Funktion zu definieren, müsste man übrigens erst mal eine Topologie auf dem W-Raum einführen. --Alfred_Mueller 23:57, 7. Okt. 2005 (CEST)

Dein "allgemein üblicher Sprachgebrauch" erscheint mir abstrus. Wozu hab' ich 4 Semester den großen Zyklus Wahrscheinlichkeitstheorie studiert? Zu jeder unglücklichen Sprachweise wirst Du 20 Bücher finden, die sich dummerweise auf diese einlassen. Folgendes gilt m.E. in der Stochastik:

Eine Zufallsvariable $X:\Omega \to \Omega '$ ist erstens eine Funktion (von der Grundmenge $\Omega$ eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Grundmenge $\Omega '$ eines Meßraumes), und sie ist stetig oder nicht stetig genau in ihrer Eigenschaft als Funktion (wenn auf beiden Räumen Topologien festgelegt sind, wie du richtig bemerkt hast). Daneben ist zweitens X meßbar, und der Urbildraum von X ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. X induziert damit auf dem Bildraum ein Bildmaß, das ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und die Verteilung von X heißt. Stetigkeitsbegriffe im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gibt es nun mehrere: Erstens kann X stetig sein, zweitens kann die Verteilung von X als Maß stetig bzgl. eines anderen Maßes (z.B. des Lebesgue-Maßes) sein, und drittens kann (sofern diese überhaupt existiert!) die Dichtefunktion der Verteilung von X als Funktion stetig sein. Ist letzteres der Fall, so sagen seriöse Autoren X hat eine stetige Dichte(-funktion). Wer dazu sagt "X ist stetig", der benutzt eine irreführende unmathematische Sprechweise und sorgt für herrliche babylonische Sprachverwirrung unter Mathematikern und Anwendern.--JFKCom 01:31, 9. Okt 2005 (CEST)

Antwort: Ich will mich hier nicht rumstreiten, wer sich hier länger mit Stochastik beschäftigt hat. ;-) Vom rein formalen Standpunkt eines puristischen reinen Mathematikers hast du schon vollkommen recht. Nur ist von dem Standpunkt aus schon die Bezeichnung Zufallsvariable an sich abstrus und irreführend. Ein formaler reiner Mathematiker würde sagen, das sorgt nur für Verwirrung, das sollte man besser meßbare Funktion auf einem W-Raum nennen. Habe ich so auch schon erlebt! Ein Stochastiker nennt das trotzdem lieber Zufallsvariable, weil für ihn die Grundmenge $\Omega$ und die darauf definierte Funktion X gar keine wesentliche Rolle spielen, sondern es die zugehörige Verteilung ist, die das ihn wirklich interessierende wesentliche Objekt ist. Deshalb benützt ein Stochastiker eben üblicherweise auch den Begriff stetige Zufallsvariable für den Fall, dass die Verteilung stetig ist. Schau dich in der Literatur oder auch im Internet um: Du wirst feststellen, dass 99 % bei Zufallsvariablen stetig im Sinne von stetige Verteilung verwenden. Mich würde es tatsächlich überraschen, wenn du auch nur eine seriöse Quelle findest, die den Begriff stetige Zufallsvariable in dem von dir vorgeschlagenen Sinne von Stetigkeit von X als Funktion benützt. Wie ich schon sagte, wird auch hier bei Wikipedia beim Eintrag über Varianz die von mir als üblich bezeichnete Definition benützt, ebenso wie übrigens beim Eintrag continuous random variable in der englischen Version von Wikipedia!! Deine Definition führt also zu deutlichen Inkonsistenzen selbst innerhalb des Wikipedia-Lexikons. Ich bin halt der Meinung, man sollte bei Wikipedia auch die allgemein üblichen Definitionen verwenden, auch wenn das eine Handvoll reine Mathematiker als irreführend ansehen. --Alfred_Mueller 13:57, 12. Okt. 2005 (CEST)

Halt, halt. Ich gehöre jedenfalls nicht zu den Ober-Puristen, die anderen den Gebrauch des Wortes „ Zufallsvariable“ absprechen wollen. So unglücklich, wie oft behauptet, ist dieser Begriff gar nicht: Früher wurde generell eine Funktion als „abhängige Variable“ bezeichnet; in der Anwendung von Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie...) wird auch z.B. eine Größe, die sich z.B. im Verlauf der Zeit ändert, gern als Variable bezeichnet; sie ist nämlich variabel (neudeutsch für veränderlich) in Bezug auf den Ablauf der Zeitachse. Eine Zufallsvariable ist als Funktion ebenso variabel, und zwar in Bezug auf den durch den auf $\Omega$ regierenden Zufall (der über die W-verteilung auf dem W-raum quantifiziert wird), der dieser Veränderlichen nach Zufallsgesetzen einen Urbildwert $\omega \in \Omega$ vorlegt. Insofern ist Zufallsvariable ein durchaus anschaulicher und sinnvoller Begriff.

Ich gebe dir recht, dass die Stetigkeit der Zufallsvariable als Funktion den wohl am seltensten (aber keinesfalls nie) angewandten Stetigkeitsbegriff einer Zufallsvariable bildet. Die beiden anderen von mir angesprochenen Begriffe sind viel wichtiger. Dennoch darf dies nicht zu falscher Sprechweise verleiten; will man die Stetigkeit (und damit insbesondere überhaupt die Existenz) der Verteilungsfunktion ansprechen, so ist der Begriff stetig verteilt (ist doch nur unwesentlich länger, oder?) korrekt. Wikipedia soll doch m.E. Wissen mehren und nicht etwa tonnenweise publiziertes Unwissen weiterverbreiten. Inkonsistenzen zu anderen Artikeln in der Wikipedia (insbesondere der englischen) sind sicher massenweise da; ich stimme dir hier (leider) heftigst zu. Wo wir aber alle gemeinsam unser helles Hirn einsetzen, sollte doch das Gewicht dieser Inkonsistenzen eigentlich eine monoton fallende (von der Zeit) abhängige Variable sein. :-) --JFKCom 22:11, 12. Okt 2005 (CEST)

Ich gebe euch recht, dass der Begriff „stetige Zufallsvariable“ in den meisten Fällen für Zufallsvariable mit stetiger Verteilung verwendet wird, andererseits aber stetig bei Zufallsvariablen – als Funktionen betrachtet – natürlich noch eine andere Bedeutung hat (vgl. „beschränkt“ in beschränkte Zufallsvariable). Die Stetigkeit als Funktion spielt beispielsweise bei der Definition von schwacher Konvergenz eine Rolle (dort wird daher die Bezeichnung Zufallsvariable vermieden und einfach von stetigen Funktionen gesprochen).

Ein zusätzliches Problem ist, dass der Begriff „stetige Verteilung“ ebenfalls nicht einheitlich verwendet wird. Einige Autoren definieren ihn anhand der Verteilungsfunktion (=keine Sprünge, quasi als Gegensatz zu „diskrete Verteilung“=nur Sprünge), andere verstehen darunter die Existenz einer Dichte, wofür manche den Begriff absolutstetig reservieren.

Mein Vorschlag wäre, diesen Sachverhalt im Artikel Zufallsvariable kurz zu erläutern, und in allen anderen Wikipedia-Artikeln den Begriff „stetige Zufallsvariable“ zu vermeiden und stattdessen folgende eindeutigere Bezeichnungen zu verwenden:

• wenn die Existenz einer Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes (oder des Lebesgue-Borel-Maßes) gemeint ist: „Zufallsvariable mit Dichte“ oder „Zufallsvariable mit absolutstetiger Verteilung“
• wenn die Stetigkeit der Verteilungsfunktion gemeint ist: „Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion“
• wenn die Stetigkeit der Zufallsvariable als Funktion gemeint ist: „stetige messbare Funktion“ oder (gewöhnlich dasselbe) „stetige Funktion“

--133.5.161.2 05:45, 14. Okt 2005 (CEST)

Deinen Vorschlag finde ich gut! Den Begriff „Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion“ würde ich darüber hinaus auch in der Verkürzung „stetig verteilte Zufallsvariable“ gutheißen; für „stetige messbare Funktion“ könnte ich mir auch die Alternative „als Funktion stetige Zufallsvariable“ vorstellen.--JFKCom 19:21, 14. Okt 2005 (CEST)

Ich habe den Punkt "stetige Zufallsvariable" jetzt umformuliert. --133.5.161.2 12:49, 20. Okt 2005 (CEST)

Zufallsveränderliche

Gibt es Quellen, in der das Wort Zufallsveränderliche verwendet wird? --Squizzz 12:32, 6. Jul 2006 (CEST)

Nein, vielleicht war ich da etwas vorschnell. Hab hier ein altes Statistikskriptum, dass den Begriff durchgehend verwendet. Hab aber nicht wirklich den Durchblick bekommen und deshalb dann alles auf Wikipedia nachgelesen - also wenn es sonst keine Quelle gibt die es bestätigen kann, am besten wieder rauslöschen. --Allefant 01:00, 7. Jul 2006 (CEST)

Einleitung

Nachdem heute die Einleitung stark gekürzt wurde, da sie angeblich Unfug ist, würde ich gerne genauer wissen, was daran denn Unfug ist. --Stefan Birkner 14:56, 13. Jun. 2007 (CEST)

Ich wiederhole (so war das da):

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten Stochastische Variable) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. :Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte zuordnet. Diese Werte werden als Realisationen der Zufallsvariable bezeichnet.

Als einführendes Beispiel lässt sich beim Zufallsexperiment des Münzwurfs eine Zufallsvariable X definieren, indem man dem Ergebnis ω = „die Münze zeigt Kopf“ den Wert 0 und dem Ergebnis ω = „die Münze zeigt Zahl“ den Wert 1 als Realisation zuordnet.

$X(\omega )={\begin{cases}0&\mathrm {die\ M{\ddot {u}}nze\ zeigt\ Kopf} \\1&\mathrm {die\ M{\ddot {u}}nze\ zeigt\ Zahl} \end{cases}}$

Die Zufallsvariable selbst wird üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier X), während man für die Realisationen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (hier beispielsweise x = 1).

So war das also. Ich möchte festhalten: Eine Zufallsvariable hat (im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn) nichts mit einem Zufallsexperiment, irgendeinem sonstigen Experiment, mit Würfeln, Münzwerfen oder was auch immer zu tun. Die hier definierte "Zufallsvariable" X macht keinen Sinn: Eine vernünftige Definition der entsprechenden Zufallsvariable (bitte: nicht dauernd mit den Münzen argumentieren!) wäre etwa:

$X(\omega )={\begin{cases}0&\omega <1/2\\1&\omega \geq 1/2\end{cases}}$

(das ist eine Zufallsvariable X von [0,1], Borelmengen, Lebesgue-Maß nach [0,1], Borelmengen, die je mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Werte 0 bzw. 1 annimmt)

mfg. --Mediocrity 15:12, 13. Jun. 2007 (CEST)

Hängt halt davon ab, wie du \Omega und die zugehörige Sigma-Algebra definierst... Das Schöne an Zufallsvariablen ist ja eigentlich, dass wir über die Verteilung aus jedem konkreten Maßraum in die reellen Zahlen kommen... --Scherben 16:41, 13. Jun. 2007 (CEST)

Mir ist klar, dass deine allgemeine Aussage richtig ist. Allerdings nicht, warum das Beispiel falsch ist. Mein Wahrscheinlichkeitsraum ist nun mal nicht $[0;1]$, sondern $\{0,1\}$. Auch wenn Zufallsvariablen unabhängig von konkreten Experimenten sind, werden sie doch zu deren Beschreibung verwendet. Warum willst du unbedingt den Hinweis auf den Bezug zu Zufallsexperimenten aus der Einleitung entfernen? --Stefan Birkner 11:36, 14. Jun. 2007 (CEST)

Das Beispiel ist nicht falsch. \Omega besteht aus den Elementen Kopf und Zahl, die Sigma-Algebra ist die Potenzmenge, und P ist die Gleichverteilung auf beiden Elementen. Ich mache die Änderung mal wieder rückgängig. --Scherben 11:41, 14. Jun. 2007 (CEST)

Mal langsam: Du brauchst einen Maßraum, einen Messraum und eine messbare Funktion. Die Elemente Kopf und Zahl liegen im Ergebnisraum, also im Messraum. Dort aber hast du kein Maß, das wird erst durch die Zufallsvariable, also eine Funktion aus dem Maßraum (welcher ist das?) in den Messraum, induziert. Ich bitte daher: Nenne mir alle drei notwendigen Teile: den Maßraum, den Messraum und die Zufallsvariable (=messbare Funktion).--Mediocrity 12:32, 14. Jun. 2007 (CEST)

Hier ist der Maßraum: $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ mit $\Omega =\{\mathrm {Kopf} ,\mathrm {Zahl} \}$ (eine Menge mit zwei Elementen), ${\mathcal {A}}=$Potenzmenge von $\Omega$, und $P=$ Gleichverteilung. Die Zufallsvariable $X$ ist auf $\Omega$ definiert, also muss man die Werte $X(\mathrm {Kopf} )$ und $X(\mathrm {Zahl} )$ angeben. Der Messraum ist z.B. $\mathbb {R}$ mit der Borel-σ-Algebra oder $\{0,1\}$ mit der Potenzmenge. --RSchlicht 13:23, 14. Jun. 2007 (CEST)

So seh ich das auch. Grad in einer Enzyklöpädie, und noch dazu ganz am Beginn des Artikels, also bei den Definitionen, sollte man m.E. solche Dinge genau behandeln. Weiter unten im Artikel kann es durchaus sinnvoll sein das auf einen nicht-mathematischen Zusammenhang herabzubrecken. Was ich aber nicht einsehe: Dass im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie im Allgemeinen und Zufallsvariablen im Besonderen immer diese verdammten Münzen und Würfel daherkommen. Niemand käme auf die Idee Integralrechnung, Zahlentheorie oder ähnliches mit Münzen und Würfeln zu erklären. Hier in diesem Fall: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion. Was liegt näher, als einfach nur eine ganz normale Funktion als Beispiel anzugeben? Ohne Münzen, Würfel etc. --Mediocrity 13:49, 14. Jun. 2007 (CEST)

Du hast den Hinweis von RSchlicht nicht verstanden: Der Maßraum symbolisiert das reale Experiment, der Messraum sind die gut verstandenen reellen Zahlen. Genau das ist die Stärke von Zufallsvariablen: Sie liefern die Verbindung zwischen dem konkreten Zufallsexperiment Münzwurf und der abstrakten mathematischen Behandlung (in diesem Fall als "Bernoulli-Verteilung"). Nur deshalb können wir überhaupt reale Zufallsexperimente mathematisch untersuchen. Vom rein mathematischen Standpunkt hast du insofern recht, dass dieses Beispiel genauso gut wie dein Beispiel mit [0,1], den Borelmengen und dem Lebesgue-Maß ist. Aber historisch und begriffsgeschichtlich ist dein Beispiel ungeeignet: Erst die mathematisch saubere Grundlegung der Stochastik durch die Maßtheorie hat die Untersuchung des Konkretums Münzwurf überflüssig gemacht. Und genau das gehört in die Einleitung. --Scherben 14:04, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich seh das völlig anders. Nicht der Maßraum, sondern die Zufallsvariable entspricht dem Experiment. Die möglichen Ausgänge (also {Kopf, Zahl}) bilden daher nicht die Menge des Maßraumes, sondern des Messraumes. Die Zufallsvariable, die dem Würfeln entspricht, ordnet den Ausgängen {Kopf} und {Zahl} Wahrscheinlichkeiten zu (induziert also ein Maß), in diesem Fall je die Wahrscheinlichkeit 1/2. Das von mir angegebene Beispiel entspricht dem Vorgang also viel eher. Jedenfalls ist es unbestritten eine Zufallsvariable, während über das andere Beispiel offensichtlich Diskussionsbedarf besteht. Ich verstehe nicht wieso man den Begriff "Zufallsvariable", also messbare Funktion, nicht genauso objektiv behandeln kann wie etwa die Begriffe "stetige Funktion" oder "differenzierbare Funktion". Niemand käme auf die Idee eine stetige Funktion so zu erklären: "Wenn ich würfle, muss der Würfel, wenn er sich im Raum bewegt, auch dazwischen einen Weg zurücklegen und kann keine Sprünge machen. Würfeln ist daher eine stetige Funktion." Das ist doch Mist, oder? Wieso muss dann "Zufallsvariable" übers Würfeln erklärt werden?--Mediocrity 14:46, 14. Jun. 2007 (CEST)

Weil es um Stochastik geht? Um angewandte[sic!] Mathematik? Weil sich das historisch so entwickelt hat? Ich bin z. B. gern Stochastiker, weil ich sowohl Analysis als auch Anwendungen mag. Und zum Inhaltlichen: Lies nochmal RSchlichts Beitrag, und schaue dir auch mal meine Artikelerweiterungen an. Vielleicht wird's dann klarer. Grüße --Scherben 14:52, 14. Jun. 2007 (CEST)

Der Begriff "Zufallsvariable" ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich glaube nicht dass Wahrscheinlichkeitstheorie eine Form der angewandten Mathematik ist (im Gegensatz zur Statstik). Wenn man aber mal bei Zufallsvariablen mit Würfeln und Münzen anfängt kommt man nie wieder davon los. Das Gesetz der großen Zahlen, stochastische Unabhängigkeit oder ähnliches kann man dann auch nur mit Münzen erklären, statt in einem schlüssigen mathematischen Kontext. Dabei ginge das auch ordentlich: im Fall von Unabhängigkeit von Zufallsvariablen könnte man (statt dem Werfen von Münzen, wie's jetzt dort steht) etwa die Rademacher-Funktionen anführen (die ein System unabhängiger Funktionen, i.e. Zufallsvariablen, darstellen).--Mediocrity 15:00, 14. Jun. 2007 (CEST)

*seufz* Der erste Teil ist Haarspalterei - und m. E. falsche Haarspalterei. Du kannst Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik nur in Bezug auf ihre Fragestellungen unterscheiden, aber nicht in Hinblick auf ihre Begründung. Die liegt nämlich in beiden Fällen in der Kolmogorovschen Axiomatik und ihrer Erfüllung in der Maßtheorie.

Der zweite Teil (also nicht die Rademacher-Funktionen, sondern das "Vom-Münzwurf-nicht-mehr-wegkommen") ist übrigens falsch. Ich versuche es noch ein letztes Mal mit einer Erklärung, ansonsten würde ich dich auf ein einführendes Werk zur Stochastik verweisen (z. B. auf den Krengel oder den Dehling/Haupt als neueres Buch): Wenn man einmal den Begriff der Zufallsvariable eingeführt hat, dann kann man den Münzwurf mathematisch als irgendeine(!) Zufallsgröße definieren, deren Verteilung eine Bernoulli-Verteilung ist. Deshalb kommt man natürlich vom konkreten Münzwurf los, indem man den zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum vergisst! Dasselbe passiert beim Begriff der Unabhängigkeit. Natürlich muss man das zunächst in der Realität (sprich: dem mathematischen Modell derselben und also auf den zu Grunde liegenden W'raum bzw. den Sigma-Algebren) definieren, aber durch den Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen können wir uns auch hier schnell wieder auf die rein mathematische Behandlung des Begriffs zurückziehen. Ich bin fast geneigt zu fragen, ob du nie eine "ordentliche" W'Theorie I gehört hast. Das muss doch drangewesen sein. --Scherben 15:16, 14. Jun. 2007 (CEST)

Natürlich kann man den Münzwurf durch irgendeine Zufallsvariable modellieren. Mein Punkt ist: Wenn in einer Enyklopädie eine Zufallsvariable als messbare Funktion von einem Maßraum auf einen Messraum definiert ist (so wie das hier der Fall ist - steht ja genauso im Artikel), dann sollte man als Beispiel für eine Zufallsvariable auch tatsächlich eine messbare Funktion von einem Maßraum auf einen Messraum hinschreiben - und zwar exakt, mit Angabe: was ist der Maßraum, was ist der Messraum, was ist die Zufallsvariable. Danach (und erst danach) kann man erklären wie damit Vorgänge aus dem realen Leben modelliert werden (können).

Den zweiten Teil versteh ich nicht: Natürlich muss man das zunächst in der Realität (sprich: dem mathematischen Modell derselben und also auf den zu Grunde liegenden W'raum bzw. den Sigma-Algebren) definieren, aber durch den Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen können wir uns auch hier schnell wieder auf die rein mathematische Behandlung des Begriffs zurückziehen.. Wenn man was sowieso mit W'räumen und sigma-Algebren definiert, wie soll man sich dann auf was mathematisches zurückziehen? Jedenfalls bezweifle ich dass du das generelle Modell stochastischer Unabhängigkeit nur anhand von Münzwürfen definieren kannst. --Mediocrity 18:06, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich fange mal wieder ohne Einrückung an, sonst wird's unübersichtlich:

a) Ich würde das in der Einleitung nicht machen. Es lesen ja nicht nur Mathematiker mit, sondern auch Psychologen, Sozialwissenschaftler, Ökonomen ..., die den Begriff aus ihren Statistikvorlesungen kennen. Denen gleich beim ersten Beispiel in der Einletung Sigma-Algebren von die Nase zu setzen halte ich für unglücklich. In die formale Definition gehört das natürlich (das steht's ja auch richtig), aber die Einleitung sollte eigentlich motivieren, warum man das macht. Deshalb ja auch der Münzwurf als "klassisches" Beispiel.

b) Ähm, du hattest gemeint, dass man beim Start mit dem konkreten Münzwurf davon nicht mehr wegkommt. Und das stimmt nicht, weil wir mit der Definition der Verteilung einer Zufallsgröße den Schritt ins Abstrakte machen. Mehr wollte ich nicht mitteilen. --Scherben 18:25, 14. Jun. 2007 (CEST)

ad a) Wenn man das schon nicht formal sauber machen will, dann sollte m.E. zumindest das wesentliche einer Zufallsvariable erwähnt werden: dass sie nämlich auf eine Menge von Ausgängen ein Maß, also eine Wahrscheinlichkeit, induziert, im Fall des Münzwurfs also je 1/2. Sonst ist das was hier steht nur eine Funktion die {Kopf,Zahl} auf {0,1} abbildet; das Wesen der ZV ist damit nicht erfasst, und was die ZV mit Experimenten und Wahrscheinlichkeiten zu tun hat auch nicht.

ad b) Nur über die Verteilungen kannst du die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht erklären. Wie formuliert man denn etwa das Gesetz der großen Zahlen über die Verteilungen beim Münzwerfen? Was bedeutet denn "fast sicher" für das Werfen von Münzen? Um solche Sätze überhaupt formulieren zu können braucht man sehr wohl die Räume und Maße und nicht nur Verteilungen. Wenn dann aber wer beim Gesetz der großen Zahlen steht, das Wort "Zufallsvariable" nachschlägt und dann nur die Verteilungen beim Münzwurf vorgesetzt vorkommt wird er recht allein im Regen stehen.--Mediocrity 22:01, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich wiederhole: Die Erklärung Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet. ist m.E. nicht richtig. Eine ZV ordnet nicht den Ergebnissen Werte zu (also dem Ergbnis "Münze zeigt Kopf" den Wert 1), sondern vielmehr den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten (also dem Ergebnis "Münze zeigt Kopf" die Wahrscheinlichkeit 1/2). Kannst du bitte dazu Stellung nehmen?--Mediocrity 10:29, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist falsch, wie kommst du darauf? Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung zwischen zwei beliebigen Maß-/Messräumen, die zwar Wahrscheinlichkeiten induziert, diese aber den Werten nicht direkt zuordnet. --Scherben 10:33, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist überhaupt nicht falsch. Die ZV ordnet jedem Element der sigma-Algebra des Messraums ein Maß, also eine Wahrscheinlichkeit zu. Das ist ja grad der Sinn der Sache. Wie kannst du davon reden einen Münzwurf zu modellieren, ohne von Wahrscheinlichkeiten zu reden? Das hat ja seinen Grund, dass der Begriff Zufallsvariable in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung fällt.--Mediocrity 10:55, 15. Jun. 2007 (CEST)

Sag mal, liest du überhaupt, was ich schreibe? Du schriebst, dass eine Zufallsvariable Ergebnissen (also Elementen des Maßraums) Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Das ist falsch. Sie induzieren sie über das Bildmaß. --Scherben 11:05, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist doch dasselbe, "zuordnen" und "induzieren", nur mit anderen Worten. Meinetwegen induziert die ZV also Wahrscheinlichkeiten (auf Ergebnisse). Warum aber kann das dann trotzdem nicht im Artikel stehen? Wenn du schon Münzwurf modellieren willst: Werden den möglichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten je 1/2 induziert, ja oder nein? --Mediocrity 11:16, 15. Jun. 2007 (CEST)

Verstehe ich nicht. Den Ergebnissen des konkreten Münzwurfs sind als Elementen des zu Grunde liegenden Maßraums doch schon vor Definition der Zufallsvariable Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir definieren Zufallsvariablen, damit man an Stelle von "Kopf" und "Zahl" 0 und 1 betrachten kann. Das heißt: Aus einer Gleichverteilung auf "Kopf" und "Zahl" wird eine Bernoulli-Verteilung auf 0 und 1. --Scherben 11:24, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das sind zwei völlig verschiedene Sichtweisen. Was ich nicht sehe: Wie willst du in so einem Modell z.B. zwei unabhängige Münzwürfe modellieren? Das heißt: Du hast zwei Münzwürfe und willst überprüfen ob die unabhängig sind. Wie soll das gehen?--Mediocrity 11:49, 15. Jun. 2007 (CEST)

Wird das jetzt eine Prüfung? Ich habe das Modell doch nicht eingeführt, ich beschreibe es nur. :) Kennst du die Defintion von Unabhängigkeit von Zufallsvariablen? Die beantwortet deine Frage. --Scherben 11:56, 15. Jun. 2007 (CEST)

Na klar kenn ich die Definition von Unabhängigkeit. So wie du die Sache angehst wird das aber nie funktionieren: deine Räume sind zu klein. Wenn du einen, zwei, drei Münzwürfe ansiehst musst du immer auf andere Räume wechseln, und für ein LLN etwa wird die Sache noch mühsamer. Das ist viel einfacher wenn du gleich auf [0,1], B([0,1]) arbeitest, dann spart man sich eine Menge an technischen Herumtuereien. --Mediocrity 13:25, 15. Jun. 2007 (CEST)

??? --Scherben 13:53, 15. Jun. 2007 (CEST)

Nachdem mich Scherben auf diese Diskussion aufmerksam gemacht hat, versuch ich einmal, ob ich als bisher neutraler Beobachter ein wenig Ordnung ins Wirrwarr bringen kann. Zunächst: Mediocrity hat damit recht, dass das Münzbeispiel so tut, alsob ein Münzwurf von sich aus eine Zufallsvariable wäre. Tatsächlich ist es aber so, dass die Zufallsvariable lediglich ein mathematisches Modell für einen Münzwurf ist. Es steht zwar irgendwie iim Satz Die besondere Bedeutung des Begriffs der Zufallsvariable liegt darin, dass durch ihn die Verbindung zwischen dem konkreten Resultat eines Experiments und seiner mathematischen Untersuchung hergestellt wird., aber wird gleich darauf wieder vergessen ... In en:Random variable wird das ein wenig besser dargestellt: A random variable can be used to describe the process of rolling a fair die. Das, was außerdem noch fehlt, ist, dass dargestellt wird, wie jetzt dieses Münzbeispiel mit der formalen Definiton zusammenpasst, also die Beschreibung des Maßraums wie von RSchlicht 13:23, 14. Jun. 2007 oder auch wie in en:Random variable für den Würfel (wo gleich die Funktion als identische Funktion genommen wird - das geht auch für die Münze, wird aber in "Random variable" interessanterweise nicht gemacht). Die restlichen Ausführungen von Mediocrity kann ich dann aber nicht mehr verstehen; klarerweise ist das Beispiel eines endlichen Maßraums sehr "primitiv", aber für n unabhängige Würfe bietet sich ja ganz natürlich das kartesische Produkt $(\Omega ^{n},{\mathcal {A}}^{n},P^{n})$ an (wobei ich $P^{n}$ im Sinnde des Produktmaßes meine). Habe ich da jeden so weit grundsätzlich verstanden? --NeoUrfahraner 14:54, 15. Jun. 2007 (CEST)

So besser? --Scherben 18:50, 15. Jun. 2007 (CEST)

Aus meiner Sicht ja, wobei ich allerdings statt "interpretieren" das Wort "modellieren" besser fände, weil es noch deutlicher macht, dass diese Darstellung mehr oder weniger willkürlich ist. --NeoUrfahraner 20:34, 15. Jun. 2007 (CEST)

Machen wir's halt so. :) --Scherben 20:41, 15. Jun. 2007 (CEST)

nochmal zu "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen"

Zunächst noch einmal eine allgemeine Bemerkung: In der Diskussion wurde vorgeschlagen, die Begriffe Verteilung bzw. Verteilungsfunktion (Vf.) nur sparsam zu verwenden. Das halte ich für nicht richtig. Die Begriffe Zv. und Verteilung bzw. Vf. hängen so eng zusammen, dass jede Trennung eher zu Missverständnissen führt. Ich glaube auch, dass einige Ungenauigkeiten im Artikel gerade darauf zurückzuführen sind, dass Zv., Verteilung bzw. Vf. vermischt wurden. Auch in der Literatur (zumindest in der einführenden, nicht in der allgemein maßtheoretischen) wird nach Einführung des Begriffes (reelle) Zv. fast unmittelbar danach der Begriff der Vf. behandelt. In der Diskussion wurde auch schon vorgeschlagen, sich primär auf reelle Zv. zu konzentrieren. Das halte ich für sehr gut, am Ende kann man dann ja noch erwähnen, dass der Begriff der Zv. auch allgemein maßtheoretisch definiert werden kann.
Ich denke, eine der größten Verwirrungen spielt sich im Punkt "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen" und den zugehörigen Diskussionen ab, insbesondere was die Begriffe "diskret" und "stetig" betrifft. Erst einmal sollte man sagen, dass diese Begriffe üblicherweise nicht für Zv., sondern für Vf. definiert werden (und das hat auch seinen Grund, siehe unten). Aber nun zu den hier definierten Begriffen, zuerst zu "stetig", für den drei Definitionsvarianten angeboten wurden:
1. Variante: "Eine Zv. X heißt stetig, wenn sie als Funktion stetig ist". Dazu gebe ich zu bedenken (wie auch schon andere Diskussionsteilnehmer vor mir): Die Räume ($\Omega ,\Sigma ,P$) und ($\Omega ',\Sigma '$) sind völlig beliebige messbare Räume, insbesondere können ihre Grundmengen $\Omega$ und $\Omega '$ aus Kartoffeln, Blättern, Ameisen, Menschen oder was weiß ich nicht was bestehen. Man braucht aber zur Feststellung der Stetigkeit einer Funktion X : $\Omega$ -> $\Omega '$ (das wurde schon in den Diskussionen anerkannt) irgendeine weitere Struktur in den Grundmengen, sagen wir eine Metrik. Aber welche? Hat man bei der Wahl der beiden Metriken freie Hand, heißt es dann, die Zv. X ist stetig bezüglich des Metrik-Paares ($m,m'$), ein anderer kann dann aber leicht kontern, dass sie bezüglich eines anderen Paares ($m_{1},m_{1}'$) nicht stetig sei, und wie verhält es sich, wenn man überhaupt keine Metriken findet? Schließlich kommt noch hinzu, dass die Metriken mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen überhaupt nichts zu tun hätten und nur künstlich eingeführt worden wären, um den Begriff "stetige Zv." nach der ersten Variante zu definieren. Das wäre eine für Mathematiker nicht übliche Herangehensweise. Ich würde also diese Definitionsvariante ausschließen.
3. Variante: "Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Vf. besitzt". Dazu sage ich erst einmal (jetzt wird es Proteste regnen, aber ich erkläre das gleich), dass nicht jede Zv. eine Vf. hat! Zwar hat jede Zv. eine Verteilung, die wird im Artikel erklärt. Ich würde nur vorschlagen, dort aus "Symmetriegründen" die Menge A in A' umzubenennen und die Verwendung von $X^{-1}$ zu vermeiden, d.h.: Die Verteilung $P_{X}$ der Zv. X wird als Maßfunktion auf $\Sigma '$ definiert durch $P_{X}(A')=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A'\})$ für $A'\in \Sigma '$. Das ist soweit in Ordnung.
Und was ist nun eine Vf.? Eine Vf. ist eine Punktfunktion, die (zunächst einmal) für reelle Zv. X definiert wird durch $F_{X}(x)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )<x\})$ für $x\in \mathbb {R}$ (es geht auch $\leqq$, das ist im Prinzip äquivalent, nur das Stetigkeitsverhalten der Vf. andert sich von links- auf rechtsstetig). Wenn man diese beiden Definitionen

Verteilung $P_{X}$ der Zv. X: $P_{X}(A')=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A'\})$ für A' $\in \Sigma '$ als Maßfunktion auf $\Sigma '$

Vf.             $F_{X}$ der Zv. X : $F_{X}(x)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )<x\})$ für x $\in \mathbb {R}$ als Punktfunktion auf $\mathbb {R}$

vergleicht, fällt eben auf, dass die erste immer funktioniert, die zweite aber nur, wenn die Zv. reelle Werte annimmt oder wenigstens in der Bildmenge $\Omega '$ eine Ordnung wie "kleiner" o.ä. definiert ist. Natürlich ist letzteres bei weitem nicht immer der Fall, so dass nicht jede Zv. eine Vf. hat. Ich denke auch, dass damit klar ist, dass auch die dritte Variante der "Stetigkeitsdefinition" entfällt.
2. Variante: "Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist)". Ja, genau das ist es. Alle vorkommenden Begriffe sind immer erklärt, egal, wie die Räume aussehen. Und so steht eindeutig fest, ob eine Zv. diese Eigenschaft hat oder nicht. Das hat übrigens auch schon --Alfred_Mueller 23:57, 7. Okt. 2005 (CEST) so zur Sprache gebracht, er ist aber nicht erhört worden. Allerdings auch hier noch eine Bemerkung: Die eventuell vorhandene Dichte muss keinesfalls stetig sein. Erstens wäre Stetigkeit für einen beliebigen Bildraum gar nicht definierbar, aber selbst bei reellen Zv. ist das nicht der Fall. Einfaches Beispiel: Eine reelle Zv. X mit gleichmäßiger Verteilung auf dem Intervall [0,1] hat die Vf.

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}x<0\\x&{\text{wenn }}x\epsilon [0,1]\\1&{\text{wenn }}x>1\end{cases}}$

und die Dichte

$p_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}x<0\\1&{\text{wenn }}x\epsilon [0,1]\\0&{\text{wenn }}x>1\end{cases}}$

und die ist natürlich in den Punkten x=0 und x=1 nicht stetig.
So, das war's erst einmal zu den Definitionen "stetige" Zv.
Nun aber noch zu "diskreten" Zv. Selbst wenn ihr mich prügelt: auch diese Definition ist nicht korrekt, oder eigentlich sogar falsch, das kommt ein bisschen auf den Standpunkt an! Auch dieser Begriff wird nämlich in der Regel primär für Vf. (und damit in erster Linie für reelle Zv.) definiert. Und zur Definition gibt es (mindestens zwei) verschiedene Möglichkeiten (die natürlich alle äquivalent sind):
1. Möglichkeit: Eine (reelle) Zv. heißt diskret, wenn ihre Vf. F auf einer abzählbaren borelschen Menge S $\subseteq \mathbb {R}$ konzentriert ist, d.h. wenn $P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in {\text{S}}\})=1$ ist. Diese "Auflagemenge", auf der die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert ist, wird im englischsprachigen Rum auch als support bezeichnet.
2. Möglichkeit: Eine Vf. heißt diskret, wenn die Menge ihrer Wachstumspunkte (das sind alle reellen Zahlen x mit $F(x+\epsilon )-F(x-\epsilon )>0$ für alle $\epsilon >0$) höchstens abzählbar unendlich ist. Achtung: Wachstumspunkt darf nicht mit Sprungpunkt verwechselt werden, Sprungpunkte sind Wachstumspunkte, für die sogar $lim_{\epsilon \to 0}F(x+\epsilon )-lim_{\epsilon \to 0}F(x-\epsilon )>0$ gilt (beide Grenzwerte existieren wegen der Monotonie von F, einer der beiden Grenzwerte ist sogar gleich dem Funktionswert F(x), je nachdem, ob man mit links- oder rechtsstetigen Vf. arbeitet). Sprungpunkte gibt es ohnehin immer nur abzählbar viele.
Welche Definitionsmöglichkeit man wählt, ist Geschmackssache, wer mehr den maßtheoretischen Hintergrund beachten will, wird die 1. Möglichkeit bevorzugen, wer stärker auf Vf. orientiert, die 2. Möglichkeit. Man beachte aber wieder, das diese Definitionen nur für reelle Zv. (mit Vf.) sinnvoll sind. Und: wie viele Werte die Zv. selbst annimmt, ist dabei unerheblich.
Dazu mal noch ein Beispiel, das auf Cantor zurückgeht: Es sei $\Omega$ das Intervall [0,1] in den reellen Zahlen, $\Sigma$ die borelsche-Sigma-Algebra und P das Lebesque-Maß darauf. Auf dem Wahrscheinlichkeitraum ($\Omega ,\Sigma ,P$) sei die Zv. X definiert durch

$X(\omega )={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}\omega \in [0,1]{\text{ rational ist}}\\1,&{\text{wenn }}\omega \in [0,1]{\text{ irrational ist}}\end{cases}}$

ihr Bildraum besteht also aus der Zweiermenge {0,1} als Grundmenge und deren Potenzmenge als Sigma-Algebra. Diese Zv. nimmt nur zwei Werte an, sie ist aber nicht diskret! Die zugehörige Vf. ist die sog. Cantorsche Vf., sie gehört zu einem dritten Grundtyp von Vf., nämlich den singulären Vf. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie stetig sind (man beachte auch hier wieder die Diskrepanz zur 3. Definitionsvariante einer "stetigen" Zv.!), auf einer Menge vom Borelmaß 0 konzentriert sind und ihre Ableitung fast überall existiert und gleich 0 ist.
Nun haben wir drei Typen von Vf., nämlich absolut stetige, diskrete und singuläre. Wer will, kann (reelle) Zv. auch so nennen, wenn ihre Vf. die entsprechende Eigenschaft hat. Und dass man an diesen Definitionen nicht herumbasteln bzw. Willkürlichkeiten reinbringen kann, zeigt folgender Zerlegungsatz von Lebesgue:
Zu jeder Vf. F gibt es drei Konstanten $c_{as}>0,c_{d}>0,c_{s}>0$ mit $c_{as}+c_{d}+c_{s}=1$ sowie eine absolut stetige Vf. $F_{as}$, eine diskrete Vf. $F_{d}$ und eine singuläre Vf. $F_{S}$, so dass

$F=c_{as}\cdot F_{as}+c_{d}\cdot F_{d}+c_{s}\cdot F_{s}.$

Nun noch einmal zum Kapitel "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen":
Die Definition "konstante" Zv. würde ich einrücken, da diese ja ein Spezialfall der diskreten sind. Hinzufügen sollte man einen anderen wichtigen Spezialfall der diskreten Zv.: Eine (reelle) Zv. heißt gitterförmig, wenn die Elemente $x_{1},x_{2},...$ der abzählbare Menge ihrer Wachstumspunkte in der Form $x_{i}=a+i\cdot d$ dargestellt werden können, die Zahl d wird Gitterweite (engl. span) genannt.
Die Definition von "unabhängig" sollte eigentlich hier raus, da sie den Zusammenhang mehrerer Zv. betrifft, wenn ich ehrlich bin, wüsste ich aber auch nicht so richtig wohin.
Bei der Definition "standardisiert" sollte man auf jeden Fall hinzufügen "... wenn der Erwartungswert und die Varianz existieren" (Varianz reicht eigentlich, da dann der Erwartungswert auch existiert, aber das weiß ja sicher auch nicht jeder auf Anhieb). Vielleicht kann man dieses Stück auch in das darunterliegende Kapitel "Kenngrößen" verschieben, da ja erst dort von Erwartungswert und Varianz gesprochen wird.
Uff, jetzt habe ich mir mal einiges von der Seele geschrieben. Ich weiß, dass ich vom Thema Zv. sehr stark zu Vf. gedriftet bin, aber das war ja meine Eingangsintention, und ich glaube auch, dass das ein bisschen in der Natur der Sache liegt. --Jesi 11:49, 22. Jul. 2007 (CEST)

Ich befürchte, dir weit meine Antwort sehr unbefriedigend vorkommen. An wesentlichen Stellen hast du Recht - die Begriffe sind mindestens unscharf definiert, manchmal sogar falsch. Andererseits vermitteln sie manchmal besser die Intuition als man das bei absoluter formaler Korrektheit könnte. (Nur zur Klärung: Von mir stammt fast nichts in diesem Artikel, ich lege selbst eher Wert auf Korrektheit als auf Interpretation.)

Deshalb: Natürlich kannst du den Artikel in deinem Sinne überarbeiten (und die jeweilige Definition ist mir recht egal), ich gebe nur aus eigener Erfahrung zu bedenken, dass es meistens nicht die ordentlichen Matheartikel sind, die dringend überarbeitungsbedürftig wären. :) --Scherben 13:38, 22. Jul. 2007 (CEST)

Danke für die Antwort, die ich eigentlich nicht unbefriedigend finde. Vielleicht hast du gesehen, dass ich neu bin (bei Wikipedia) und deshalb nehme ich auch jeden Hinweis gern entgegen. Offenbar ist meine darüberstehende "Abhandlung" nicht ganz so angekommen, wie ich mir das gedacht habe. Auch ich bin nämlich für anschauliche Erklärungen und intuitive Zugänge, möchte aber (in der Mathematik) auch mathematische Exaktheit. Und meist kann man das ganz gut verbinden. Deshalb habe ich ja z.B. auch vorgeschlagen, von der allgemeinen maßtheoretischen Behandlung von Zufallsvariablen zu den reellen Zufallsvariablen "zurückzukehren", weil man da ein viel besseres Verständnis erzielen kann. Und wenn du meinst, dass es meistens nicht die ordentlichen Matheartikel sind, die dringend überarbeitungsbedürftig wären, dann kann das ja sein, ich wollte aber mit einem Thema anfangen, von dem ich nun mal was verstehe. Nochmals Danke --Jesi 23:14, 22. Jul. 2007 (CEST)

Beispiel in der Einleitung

Ich habe mal versucht, die Einleitung etwas verständlicher zu machen. Meiner Meinung nach ist das Problem beim bisherigen Einführungsbeispiel, dass es zu einfach ist: Man sieht dann nämlich nicht so recht, was es für Vorteile hat, eine Abblidung $X\colon \{\mathrm {Kopf} ,\mathrm {Zahl} \}\to \{0,1\}$ zu verwenden. --91.13.220.115 14:44, 8. Sep. 2007 (CEST)

Och nee... Wir hatten weiter oben so lange darum gerungen, eine vernünftige Formulierung zu finden. Natürlich hat das einen Vorteil, weil man vom abstrakten W'Raum in einen bekannten Messraum kommt. Das stand doch auch da?!? Sorry, ich setze es erstmal wieder zurück. --Scherben 15:15, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich hab dazu mal einen Erläuterungssatz eingefügt, der zumindest erklären soll, warum man eine solche Zuordnung von reellen Zahle vornimmt. -- Jesi 16:12, 8. Sep. 2007 (CEST)

Und ich hab's leicht umformuliert. Danke - ich glaube, so hast du einen schönen Kompromiss gefunden. :) --Scherben 16:17, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ja, so geht's auch. Mir war halt wichtig, dass in der Einleitung steht, warum Zufallsvariablen nützlich sind. Aber wieso $<$ statt $\leq$ bei der Verteilungsfunktion? In diesem Artikel (und auch in der mir bekannten Literatur) wird doch überall $\leq$ verwendet. --91.13.232.28 17:43, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich kenne beide Varianten. Von mir aus kannst du das gern ändern, aber dann bitte konsequent und nicht nur an machen Stellen. --Scherben 17:51, 8. Sep. 2007 (CEST)

Sorry, an das Beispiel habe ich gar nicht gedacht. Ich hoffe jetzt stimmt's. Das mit der Ableitung habe ich auch gleich noch in Dichte geändert. Verteilungsfunktionen müssen ja nicht unbedingt differenzierbar sein.--91.13.250.38 19:02, 8. Sep. 2007 (CEST)

Das Problem mit dem "kleiner" bzw. "kleiner gleich" ist schon oft diskutiert worden, z.B. auf dem Portal Mathematik. Nur zur Zusammenfassung: Beide Definitionen sind im Prinzip äquivalent, der einzige Unterschied ist, das bei "kleiner gleich" die zugehörigen Verteilungsfunktion linksstetig und ansonsten rechtsstetig ist. Auch in der Literatur wird es etwa Halbe/Halbe verwendet. Die Sache mit der Dichte ist hier tatsächlich besser, da es ja um Zufallsvariable geht. Aber: Wenn eine Zufallsvariable eine Dichte hat, dann ist die Verteilungsfunktion fast überall differenzierbar und die Dichte ist dann wirklich die Ableitung der Verteilungsfunktion. -- Jesi 22:05, 8. Sep. 2007 (CEST)

@Scherben (Änderung Wortstellung): Vermutlich hast du Recht, ich hab es geändert, weil ich beim Lesen ein bisschen gestolpert bin, könnte eher mein Problem sein. Sry, -- Jesi 22:28, 8. Sep. 2007 (CEST)

Kein Problem. Wegen der Problematik mit der Dichte: Sollten wir nicht eher dF(x) schreiben? --Scherben 22:33, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich würde denken, eher nein. dF(x) steht ja im Lebesgue-Integral, mit dem man den Erwartungswert für alle Fälle definiert. Spezialfälle sind dann die diskreten, in denen daraus Σ P(X = x) wird, und die absolut stetigen, da wirds dann f(x)dx. Auch in den Lehrbüchern wird es im Allgemeinen so verwendet. -- Jesi 00:16, 9. Sep. 2007 (CEST)

Okay, wobei ich mir trotzdem eine Präzisierung erlaubt habe. Gruß --Scherben 00:22, 9. Sep. 2007 (CEST)

Ja, dieses Problem habe ich ja schon vor ein paar Wochen in dem Beitrag nochmal zu "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen", der noch unmittelbar über diesem Abschnitt steht, versucht zu behandelt. Fakt ist, dass die beiden im Artikel über deiner Ergänzung stehenden "Definitionen" zu stetige bzw. kontinuierliche Zv. nicht in Ordnung sind, das wollte ich ja in meinem obigen Beitrag erklären. Insofern ist dein Einschub ok. Aber: Ich hoffe, dass ich mich richtig erinnere, dass die Definition lautet Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist). Zv. heißen also stetig, wenn die Vf. absolut stetig ist. Es ist sicher etwas blöd, dass sie Begriffe hier nicht korrespondieren, aber ich denke, dass es die verbreitetste Variante ist. Im Artikel wird es im Zusammenhang mit Dichte einmal der stetige Fall, das andere Mal der absolut stetige Fall genannt. Ich werde das jetzt mal angehen, mal sehen, wie du das siehst. -- Jesi 01:01, 9. Sep. 2007 (CEST)

Das Problem ist: Mein google-Test für "stetige zufallsvariable" -absolut deutet daraufhin, dass eben auch die beiden von dir gelöschten Bezeichnungen benutzt werden. Ich probiere mich also auch mal wieder, irgendwann konvergiert's (alternierend ist es schon. :)) --Scherben 01:08, 9. Sep. 2007 (CEST)

(Ich rück mal wieder vor) Das Dumme ist: alternierend impliziert ja leider keine Konvergenz. Zunächst: "absolut stetige Zufallsvariable" liefert nur 26 echte Treffer, ist also ziemlich ungebräuchlich (deshalb würde ich es vielleicht doch in Klammern setzen, das ist aber unbedeutend). Dein Link zeigt, dass stetige Zv. ohne absolut oft vorkommt, das ist natürlich richtig. Aber: in welcher Bedeutung? Wenn man mal so überfliegt, (hier mal ein Beispiel) kommt in der Regel der Begriff Dichte mit vor, also genau in dem Zusammenhang, der jetzt an dritter Stelle steht. Selten kommt auch der Begriff stetige Verteilungsfunktion vor, das stimmt. Aber die erste Zeile in der Definition kann eigentlich so nicht stehen bleiben, weil eine Zv. ja eine Funktion von einem beliebigen in einen beliebigen Raum ist (natürlich beide messbar), und für eine solche Funktion ist ohne weitere Struktur in den Räumen der Begriff Stetigkeit überhaupt nicht erklärt ist (ich hab das in dem oben erwähnten Diskussionsbeitrag etwas ausführlicher dargelegt, auch in anderen Beiträgen auf dieser Seite kam das schon vor). Mein Vorschlag: die erste Zeile weglassen und die beiden anderen vertauschen. Ich werde das mal im Sinne des weiteren Alternierens vornehmen. Ich hoffe, dass ich dir nicht allzusehr auf die Nerven gehe, wenn ja, dann sags mir. .. Jesi 01:41, 9. Sep. 2007 (CEST) Zusatz: unter #Eigenschaften von Zufallsvariablen stehen zwei Beiträge eines jetzt wieder roten Alfred_Müller, die in genau diese Richtung gehen. -- Jesi 01:46, 9. Sep. 2007 (CEST)

Find's so okay. --Scherben 01:50, 9. Sep. 2007 (CEST)