Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen

Die Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen der Theoretischen Biologie sind ein klassischer Ansatz zur Beschreibung der Dynamik einer stark vereinfachten Biozönose, bestehend aus einer nachwachsenden Ressource und mindestens 2 darum konkurrierender Arten. Gegenüber allgemeineren Konkurrenz-Modellen unterscheidet sich dieses Modell also darin, die Ressource relativ explizit in die Modellierung miteinzubeziehen, anstatt nur mittelbar durch die Angabe jeweils einer Kapazität für beide Arten.

Formulierung

Mit Art 1 = x und Art 2 = y und Ressource = r kann das Modell formuliert werden:

${\frac {dx}{dt}}=xar-m_{1}x$

${\frac {dy}{dt}}=ybr-m_{2}y$

wobei a,b exponentielle Wachstumsraten sind und die m (mortality rate) Sterberaten darstellen. Die zu einem Zeitpunkt verfügbare Ressourcenmenge wird angenommen als: $r_{m}ax-(px+qy)$

Damit ergibt sich:

${\frac {dx}{dt}}=xa(r_{max}-(px+qy))-m_{1}x$

${\frac {dy}{dt}}=yb(r_{max}-(px+qy))-m_{2}y$

Analyseansatz

Fast man $ar_{max}-m_{1}$ zu einer neuen Konstante a1 zusammen und verfährt für die zweite Art entsprechend (b1),gelangt man zur bekannten Darstellung der Konkurrenz mit expliziter Angabe der Kapazitäten

${\frac {dx}{dt}}={\frac {x}{a_{1}}}(1-(px+gy){\frac {a}{a_{1}}})$

${\frac {dy}{dt}}={\frac {y}{a_{2}}}(1-(px+gy){\frac {b}{a_{2}}})$

wie man abliest, ist also insbesondere die Kapazität für die erste Art $K_{1}={\frac {a_{1}}{ap}}$ und sinngemäß für die zweite Art.

Diese Analyse dieses Systems erfolgt entsprechend wie im Artikel Konkurrenz (Ökologie).

Literatur

• Lotka, A. J. (1925): Elements of Physical Biology. Williams and Wilkins, Baltimore. ISBN 0486603466
• Lotka, A. J.: Analytical Theory of Biological Populations (The Plenum Series on Demographic Methods and Population Analysis). New York: Springer US (Plenum Press), 1998. ISBN 0306459272