Potenzregel

Mathematik > Analysis > Differentialrechnung

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Die Potenzregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung zur Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.

Für die Ableitung von Potenzfunktionen gilt:

$(x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$

Herleitung

Wir betrachten im folgenden die Ableitung einer Potenzfunktion am Differentialquotienten (Voraussetzung: Kenntnisse über Binomialkoeffizienten):

$(x^{n})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{n-2}{\Delta x}^{2}+..+{n \choose n-1}x{\Delta x}^{n-1}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{n \choose 1}x^{n-1}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{n-2}{\Delta x}^{2}+..+{n \choose n-1}x{\Delta x}^{n-1}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{n \choose 1}x^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2}{\Delta x}+..+{n \choose n-1}x{\Delta x}^{n-2}+{n \choose n}{\Delta x}^{n-1}$

$={n \choose 1}x^{n-1}=n\cdot x^{n-1}$

Beispiel

$(x^{4})'=4\cdot x^{3}$