Benutzer Diskussion:Ben-Oni/QM

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-- 217.232.39.126 17:52, 17. Aug. 2007 (CEST)

Entfernte Kapitel

Welle-Teilchen-Dualismus

Datei:Doubleslit klassisch qm.png

Schematische Darstellung des Doppelspalt-Experiments mit dem erwarteten Ausgang nach klassischer und nach quantenmechanischer Vorhersage

Interferenzmuster von Elektronen nach Beugung am Doppelspalt

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts ging man davon aus, dass sich die Bestandteile von Materie, also Atome, Elektronen, Atomkerne etc., als Teilchen beschreiben lassen, welche man sich als kleine elastische Kügelchen vorstellte. Tatsächlich lassen sich manche Experimente wie z. B. der Rutherfordsche Streuversuch gut im Rahmen des Teilchenmodells erklären. Andere Experimente wie das im Folgenden beschriebene Doppelspaltexperiment beweisen jedoch, dass mikroskopische Objekte unter bestimmten Bedingungen keine Teilcheneigenschaften zeigen, sondern nur unter der Annahme von Welleneigenschaften adäquat beschrieben werden können.

Bei dem Doppelspaltexperiment werden mikroskopische „Teilchen“ auf ein Hindernis mit zwei eng beieinander liegenden Spalten gesendet. Das im folgenden beschriebene Experiment bezieht sich konkret auf Elektronen, für andere Objekte wie z. B. Atome, Neutronen, Photonen, oder auch komplexe Moleküle wie die Buckyballs erhält man jedoch die gleichen Ergebnisse. Unter Annahme des klassischen Teilchenmodells würde man hinter den Spalten zwei klar voneinander abgetrennte „Peaks“ (Häufungen) in der Verteilung der nachgewiesenen Elektronen erwarten, wie sie schematisch im oberen Teilbild der nebenstehenden Abbildung dargestellt sind.

Die tatsächlich beobachteten Messergebnisse stimmen insofern mit dem Teilchenmodell überein, als jedes Elektron auf dem Schirm zu einem einzelnen Leuchtpunkt führt (siehe Abbildung rechts). Die Verteilung der Elektronen auf dem Schirm weist jedoch ausgeprägte Interferenzmuster auf, die mit einem Teilchenmodell der Elektronen unverträglich sind. Unter der Annahme einer Welleneigenschaft der Elektronen lässt sich das Interferenzmuster hingegen zwanglos erklären.

Das Phänomen, dass mikroskopische Objekte je nach experimentellem Kontext Eigenschaften zeigen, die im Rahmen der Alltagserfahrung als unverträglich („komplementär“) gelten, wird (nach Niels Bohr, der es als erster formulierte) als Bohrsches Komplementaritätsprinzip bezeichnet.

Diskussion

Ich bin der Ansicht, dass sowas in den noch zu schreibenden Artikel Alte Quantentheorien gehört, da dies zwar eine wichtige Motivation zur Entwicklung der Quantenmechanik war, aber selbst nicht zur Quantenmechanik zählt. -- 88.77.230.43 21:21, 17. Aug. 2007 (CEST)

Das ist so nicht richtig. Die alten Quantentheorien hatten keine Antwort auf den Welle-Teilchen-Dualismus. Selbst die QM hatte zunächst in gewisser Weise ein Problem damit. Bohrs Antwort war das Komplementaritätsprinzip, eigentlich fester Bestandteil der Kopenhagener Interpretation und damit der Standardinterpretation der QM. Für die Entwicklung der QM hat das Thema hingegen keine Rolle gespielt. Für Schrödinger war nur der Wellencharakter relevant, und Heisenberg verwarf in seiner Matrizenmechanik zunächst jedes anschauliche Bild.--Belsazar 22:33, 17. Aug. 2007 (CEST)

Zum Vorschlag, das Kapitel zu entfernen: Das Doppelspaltexperiment zeigt zum einen deutlich die für das Verständnis der QM so wichtigen Interferenzeffekte, weiterhin verdeutlicht es den statistischen Messprozess klarer als das ganze Kapitel "statistischer Messprozess". Mein Fazit: Das Doppelspaltexperiment gehört für mich unbedingt in den Artikel.--Belsazar 23:53, 17. Aug. 2007 (CEST)

Möchtest du das Kapitel auch in seinem Sinnkontext erhalten oder geht es dir mehr um das schöne (sehe ich auch so) Experiment? Im letzteren Fall, könnte man das Doppelspaltexperiment für den Stern-Gerlach-Versuch einsetzen, der unten auch nochmal von jemandem als laienunfreundlich (auch das finde ich nachvollziehbar) kritisiert wird; also quasi dieses Kapitel mit dem statistischen Messprozess zusammenführen. (Dabei kann der statistische Messprozess dann eigentlich auch nochmal inhaltlich geschlossen sprachlich vernünftig neu aufgezogen werden. Im Moment holpert es ja sehr...) Also? -- 88.76.229.224 03:53, 18. Aug. 2007 (CEST)

Das Wasserstoffatom als Beispiel

Hauptartikel: Wasserstoffatom

Wasserstoff s-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=0 (s), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Wasserstoff p-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=1 (p), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Ein herausragendes Anwendungsbeispiel der Quantenmechanik stellt das Wasserstoffatom dar. Die vollständige analytische Lösung des Wasserstoffproblems führte zu einem neuen Atommodell und in seiner Folge zu einer neuen Theorie der chemischen Bindung mit weitreichenden Konsequenzen in der Molekül- und Festkörperphysik.

Das Wasserstoffatom wird durch einen Hamiltonoperator für ein Elektron im Zentralpotenzial des Wasserstoffkerns beschrieben

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{\hat {\vec {p}}}^{2}+V({\hat {r}})$

wobei m die Elektronenmasse darstellt, ${\hat {\vec {p}}}$ den Impulsoperator und $V({\hat {r}})$ das Zentralpotenzial, wobei hier ${\hat {r}}=|{\hat {\vec {x}}}|$ den Betrag des Ortsoperators darstellt.

Aufgrund der hohen Symmetrie des Potenzials (es bleibt invariant bei Drehung), können gleichzeitig zu den Energieeigenwerten auch Eigenwerte des Drehimpulses bestimmt werden, und zwar genauer die Eigenwerte das Quadrats des Drehimpulsoperators ${\hat {L}}^{2}$ sowie die seiner z-Komponente ${\hat {L}}_{z}$. Damit ergeben sich Zustände, die von drei Quantenzahlen abhängen:

${\hat {H}}|n;l;m\rangle =E|n;l;m\rangle$

${\hat {L}}^{2}|n;l;m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|n;l;m\rangle$

${\hat {L}}_{z}|n;l;m\rangle =\hbar m|n;l;m\rangle$

In Ortsdarstellung ergeben die Eigenzustände die chemischen Orbitale:

s-Orbitale: $\Psi _{n,0,m}=\langle x|n;l=0;m\rangle$

p-Orbitale: $\Psi _{n,1,m}=\langle x|n;l=1;m\rangle$

d-Orbitale: $\Psi _{n,2,m}=\langle x|n;l=2;m\rangle$

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron ist durch das Betragsquadrat gegeben $|\langle x|n;l;m\rangle |^{2}$. Die Abbildungen zeigen dies beispielhaft für die Orbitale $|n=2;l=0;m=0\rangle$ und $|n=2;l=1;m=0\rangle$. Hierbei wurden mit Hilfe der Lösung obiger Hamiltongleichung die Positionen des Elektrons jeweils 10000 mal simuliert und die so „gemessenen“ Orte als Punkte in das Diagramm eingetragen.

Diskussion

Ich sehe den Sinn dieses Kapitels nicht. Ich glaube, dass es Laien abschreckt und damit im Endeffekt niemandem etwas bringt. -- 88.77.230.43 21:21, 17. Aug. 2007 (CEST)

Ich sehe es auch so, dass der QM-Artikel etwas überfrachtet ist, und dieser Abschnitt wäre ein Kandidat zum Kürzen. Eigentlich gefällt mir der Text aber ganz gut. Vielleicht findet sich ja ein anderer Artikel, wo der Abschnitt gut reinpasst. Spontan denke ich dabei an Orbital oder Schrödingergleichung.--Belsazar 22:39, 17. Aug. 2007 (CEST)

Bei Schrödingergleichung würde ich vorher in der Diskussion anfragen, da sind gerade viele Teilzeitköche am Werk, soweit ich das überblicke. ;) -- 88.76.229.224 03:55, 18. Aug. 2007 (CEST)

Wichtige Personen zur Entwicklung der Theorie

• Max Planck, Erklärung des Spektrums der Schwarzkörperstrahlung durch die Annahme eines Wirkungsquantums
• Albert Einstein, Erklärung des photoelektrischen Effekts durch physikalische Interpretation des planckschen Wirkungsquantums
• Niels Bohr, Vorschlag eines Atommodells mittels einiger Ad-hoc-Postulate
• Louis de Broglie, Idee des Welle-Teilchen-Dualismus
• Werner Heisenberg, Erste Formulierung der Matrizenmechanik und Entdeckung der nach ihm benannten Unschärferelation
• Pascual Jordan, mathematische Vervollständigung der Matrizenmechanik (zusammen mit M. Born und W. Heisenberg)
• Max Born, Formulierung der Matrizenmechanik (zusammen mit W. Heisenberg und P. Jordan), statistische Interpretation der Wellenfunktion
• Erwin Schrödinger, Formulierung der Wellenmechanik
• Paul Dirac, Zusammenführung der Theorien Heisenbergs und Schrödingers; Aufstellung der Dirac-Gleichung für Fermionen und somit Begründung der relativistischen Quantenmechanik
• Wolfgang Pauli, Einführung des Spins als neuer quantenphysikalischer Freiheitsgrad und des nach ihm benannten Ausschließungs-Prinzips
• John von Neumann, mathematische Formulierung der Quantenmechanik auf Basis von Zuständen und Operatoren in Hilberträumen

Diskussion

Ich finde, das was noch fehlt, kann in den Fließtext eingarbeitet werden. Die Liste ist kein guter Stil und sollte unterbleiben. -- 88.77.230.43 21:21, 17. Aug. 2007 (CEST)

Zustimmung. Weg damit!--Belsazar 22:55, 17. Aug. 2007 (CEST)

Richtungsweisende Experimente

• Thomas Youngs Doppelspaltexperiment, bei dem die Wellennatur von Licht nachgewiesen wurde (1805)
• Henri Becquerel entdeckt die Radioaktivität (1896)
• Joseph John Thomsons Kathodenstrahlexperimente (Entdeckung des Elektrons und seiner negativen Ladung) (1897)
• Untersuchungen der Schwarzkörperstrahlung zwischen 1850 und 1900, die ohne Annahme von Quanteneffekten nicht erklärbar waren.
• Der photoelektrische Effekt: Einstein erklärte diesen Effekt im Jahr 1905 unter Verwendung des Konzeptes von Photonen, Teilchen und Licht mit quantisierter Energie (wofür er später den Nobelpreis erhielt) .
• Robert Millikans Millikan-Versuch, der bewies, dass elektrische Ladungen in quantisierten Mengen auftreten (1909)
• Ernest Rutherfords Streuexperimente an Goldfolien widerlegten das Puddingmodell des Atoms, welches von einer mehr oder weniger gleichförmigen Verteilung der positiven und negativen Ladung des Atoms ausging. (1911)
• James Franck und Gustav Ludwig Hertz wiesen durch die inelastische Streuung von Elektronen an Quecksilber nach, dass Atome ein Anregungsspektrum mit diskreten Energieniveaus besitzen (1913).
• Otto Stern und Walther Gerlach führten das Stern-Gerlach Experiment durch, welches die quantisierte Natur des Spins bewies. (1920)
• Clinton Davisson und Lester Germer bewiesen die Wellennatur des Elektrons mit ihrer Erklärung eines Elektronenbeugungsexperiment, das sie bereits 1919 durchgeführt hatten. (1927)
• Clyde L. Cowan und Frederick Reines bestätigten die Existenz des Neutrinos in dem Neutrino-Experiment (1955)
• Claus Jönsson`s Experiment zur Beugung von Elektronen an Einzel- und Mehrfachspalt (Doppelspaltexperiment mit Elektronen) (1961)

Diskussion

Wie das Kapitel davor. -- 88.77.230.43 21:21, 17. Aug. 2007 (CEST)

Einige Zitate

Wenn es doch bei dieser verdammten Quantenspringerei bleiben soll, so bedaure ich, mich überhaupt jemals mit der Quantentheorie abgegeben zu haben.- Erwin Schrödinger in einer Diskussion mit Niels Bohr

Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmechanik zu tun haben, haben sie nicht verstanden. - Niels Bohr

Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Liebe Gott mit Würfeln spielt! - Albert Einstein

Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat. - Niels Bohr

Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik versteht. (I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics.) - Richard Feynman

Die Feststellung, dass die gegenwärtigen Wandlungen unseres Wertsystems viele Wissenschaftszweige beeinflussen werden, mag jene überraschen, die an eine objektive, wertfreie Wissenschaft glauben; sie ist jedoch eine der wichtigen Implikationen der Neuen Physik. Heisenbergs Beiträge zur Quantentheorie, […] führen eindeutig zu der Erkenntnis, dass das klassische Ideal wissenschaftlicher Objektivität nicht mehr aufrechterhalten werden kann. - Fritjof Capra

Ich bin immer noch verwirrt, aber auf einem höheren Niveau. (I am still confused, but on a higher level.) - Enrico Fermi

Diskussion

Ich finde die Zitate sind unenzyklopädisch und bieten keinen Mehrwert im Kontext des Artikelthemas. -- 88.77.230.43 21:21, 17. Aug. 2007 (CEST)

In der jetzigen Form als einfache Auflistung bringen die Zitate in der Tat nicht viel. Von mir aus können sie raus.--Belsazar 22:54, 17. Aug. 2007 (CEST)

Geschichte (Teile)

Im Jahr 1900 entwickelte Max Planck eine Formel zur Beschreibung der gemessenen Frequenzverteilung der von einem Schwarzkörper emittierten Strahlung, wobei er von der Annahme ausging, dass der schwarze Körper aus Oszillatoren mit diskreten Energieniveaus besteht. Albert Einstein erweiterte dieses Konzept und schlug im Jahr 1905 eine Quantisierung der elektromagnetischen Strahlung vor, um den photoelektrischen Effekt zu erklären.

In den Folgejahren stellte sich rasch das Potenzial des Konzeptes quantisierter Energieportionen heraus. So weist dieses Modell nicht das Problem der Divergenz der bei kurzen Wellenlängen emittierten Strahlungsleistung von schwarzen Körpern auf, welches sich bei Anwendung der klassischen Theorie des Elektromagnetismus zeigte (Ultraviolett-Katastrophe). 1913 erklärte Niels Bohr die Spektrallinien des Wasserstoffatoms unter Annahme diskreter Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom (Bohrsches Atommodell).

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Die oben erwähnten Theorien (heute kollektiv als „Alte Quantentheorien“ bezeichnet) waren zwar bei der Beschreibung einzelner, im Rahmen der klassischen Physik unverständlicher Phänomene erfolgreich, wiesen jedoch noch den Makel auf, dass sie auf einer rein phänomenologischen Basis hergeleitet waren: Das Konzept der Quantisierung wurde ohne Einbindung in einen theoretischen Gesamtzusammenhang postuliert. Auch zeigte sich, dass diese Theorien bereits bei Anwendung auf einfache Systeme wie z. B. das Helium-Atom versagten. Diese Probleme führten zunächst zu einer Ernüchterung bei den mit der Quantentheorie befassten Wissenschaftlern.

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Die Vorreiter der Quantenchemie waren Walter Heitler und Fritz London, die im Jahr 1927 eine Untersuchung der kovalenten Bindung des Wasserstoffmoleküls veröffentlichten. Die Quantenchemie wurde in der Folge von zahlreichen Wissenschaftlern weiterentwickelt, unter ihnen der amerikanische Chemiker Linus Pauling, der 1954 für seine Arbeiten auf diesem Gebiet den Nobelpreis für Chemie erhielt.

Ab 1927 wurde versucht, die Quantenmechanik nicht nur auf Partikel, sondern auch auf Felder anzuwenden, woraus die Quantenfeldtheorien entstanden. Die ersten Ergebnisse auf diesem Gebiet wurden durch Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Victor Weisskopf, und Pascual Jordan erzielt. Dieses Forschungsgebiet fand seine bislang größten Erfolge in den 40er Jahren des 20. Jahrhunderts mit der Formulierung der Quantenelektrodynamik durch Richard Feynman, Freeman Dyson, Julian Schwinger, und Sin-Itiro Tomonaga. Die Quantenelektrodynamik beschreibt Elektronen, Positronen und das elektromagnetische Feld erstmals in einer durchgängigen Weise. Die hier entwickelten Konzepte und Methoden wurden als Vorbild für weitere, später entwickelte Quantenfeldtheorien verwendet.

Die Theorie der Quantenchromodynamik wurde Anfang der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts ausgearbeitet. Die heute bekannte Form der Theorie wurde 1975 durch David Politzer, David Gross and Frank Wilczek formuliert. Aufbauend auf den wegweisenden Arbeiten von Schwinger, Peter Higgs, Goldstone und Sheldon Glashow konnten Steven Weinberg und Abdus Salam unabhängig voneinander zeigen, wie die schwache Kernkraft und die Quantenelektrodynamik zu der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung zusammengeführt werden können.

Diskussion

Ich finde, diese Teile betreffen nicht wirklich die Quantenmechanik, sondern Vorläufer und Nachfolger/Erweiterung. Damit sind sie in diesem Artikel meiner Ansicht nach von keinem besonderen Wert, sondern lenken eher vom Thema ab. -- 217.232.45.247 21:36, 20. Aug. 2007 (CEST)

Statistischer Messprozess

Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal der Quantenmechanik im Hinblick auf die klassische Mechanik ist die Einbeziehung des Messprozesses in die Theorie. So ist in der klassischen Mechanik die Entwicklung eines gegebenen physikalischen Systems durch Kenntnis der Variablen wie Ort und Impuls der auftretenden Teilchen eindeutig vorhersagbar. Hierbei wird angenommen, dass sich diese Messgrößen – zumindest im Prinzip – gleichzeitig beliebig genau bestimmen lassen. In der Quantenmechanik verursacht der Messprozess dagegen eine Störung des Systems.

Die Beschreibung des Messprozesses ist eng verknüpft mit dem Begriff des Determinismus. So ist die Zeitentwicklung eines unbeobachteten quantenmechanischen Systems zwar völlig deterministisch, der Messprozess ist dagegen aber völlig zufällig. Zur Beschreibung der Messung einer Observablen, wird der Zustand des Systems in eine Linearkombination von Eigenzuständen der Observablen zerlegt. Der Messprozess kann nun als Projektion auf einen dieser Eigenzustände angesehen werden. Der Messwert entspricht dann dem zu diesem Zustand gehörigen Eigenwert. Wenn man einen Messprozess mit einer unendlichen Menge von Kopien eines Systems wiederholt, so erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Messwerten, wobei die Wahrscheinlichkeiten den Quadraten der Koeffizienten der entsprechenden Eigenzustände entsprechen.

Aus dieser Beschreibung des Messprozesses folgt sofort, dass die Reihenfolge der Messung zweier physikalischer Größen A und B einen Einfluss auf das Messergebnis haben kann, nämlich genau dann, wenn die Observablen nicht kommutieren, das heißt $\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$.

Der Messprozess soll hier exemplarisch am Beispiel eines Teilchens mit Spin ${\tfrac {1}{2}}$ verdeutlicht werden. Der Spin ist eine Eigenschaft von Teilchen, wie z. B. seine Masse. Spin ${\tfrac {1}{2}}$ bedeutet, dass es für die z-Komponente des Spin zwei Einstellungen gibt, die meist $\downarrow \equiv -{\tfrac {1}{2}}$ („down“) und $\uparrow \equiv {\tfrac {1}{2}}$ („up“) genannt werden.

Zur Veranschaulichung, wird im folgenden ein Experiment beschrieben: Eine Teilchenquelle für Spin ${\tfrac {1}{2}}$-Teilchen wird so eingestellt, dass alle ausgesandten Teilchen den gleichen Spinzustand haben. Dieser Zustand werde mit $|s\rangle$ bezeichnet. Die Teilchen fliegen durch ein inhomogenes Magnetfeld (siehe Stern-Gerlach-Versuch), das bewirkt, dass sich Teilchen mit verschiedenen Spin ($\downarrow$ oder $\uparrow$) trennen und fallen anschließend auf einen Detektor, der den Spinzustand misst. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein Teilchen die Quelle verlässt und mit Spin $\downarrow$ beziehungsweise $\uparrow$ gemessen wird ist

$\langle \downarrow |s\rangle$ beziehungsweise $\langle \uparrow |s\rangle$.

Obwohl alle Teilchen den gleichen Anfangszustand hatten, misst man beide Spineinstellungen mit den Wahrscheinlichkeiten

$P(\downarrow )=|\langle \downarrow |s\rangle |^{2}$ bzwiehungsweise $P(\uparrow )=|\langle \uparrow |s\rangle |^{2}$.

In einer Erweiterung des Experiments werden alle Teilchen mit Spin $\downarrow$ hinter dem Magnetfeld geblockt, so dass alle verbleibenden Teilchen wieder den gleichen Zustand $\uparrow$ haben. Diese werden nun durch ein weiteres inhomogenes Magnetfeld (identisch zum ersten) geleitet. Misst man anschließend den Spinzustand sind alle Teilchen weiterhin im Zustand $\uparrow$.

Folgerungen aus dem Experiment:

Man misst nur zwei Zustände. Diese Zustände nennt man Eigenzustände des Spins. Die Teilchen werden durch die Messung (die Stern-Gerlach-Apparatur stellt eine Art Messapparatur dar) in den Eigenzustand gebracht. Ein Teilchen, dass schon in einem Eigenzustand ist, bleibt bei einer weiteren Messung in diesem Zustand.

Ist ein Teichen in einem wohldefinierten Zustand, der kein Eigenzustand ist, misst man zufällig einen der Eigenzustände. Der Anfangszustand lässt sich dann darstellen als

$|s\rangle =\langle \downarrow |s\rangle |\downarrow \rangle +\langle \uparrow |s\rangle |\uparrow \rangle$.

Auch das ist ein allgemeines Prinzip: Ein quantenmechanischer Zustand lässt sich immer aus einer Linearkombination aller Eigenzustände darstellen. Würde man also ein Spin-1 Teilchen betrachten, so erhielte man

$|s\rangle =\langle -1|s\rangle |-1\rangle +\langle 0|s\rangle |0\rangle +\langle 1|s\rangle |1\rangle$.

Diskussion

Ich habe das Kapitel durch ein neues ersetzt. Ist das besser? -- 217.232.44.33 17:10, 21. Aug. 2007 (CEST)

Observable und Zustände

Im Rahmen der klassischen Mechanik ist der Zustand eines Teilchens durch die Messung seiner Position und seiner Geschwindigkeit vollständig festgelegt. Bei mikroskopischen Systemen ist dieser Rückschluss aus einzelnen Messergebnissen auf den Zustand des Systems offenbar unvollständig, da jedes Messergebnis nur ein zufälliger Repräsentant einer Vielzahl möglicher Ergebnisse ist. Für eine vollständige Beschreibung des Zustandes muss demnach die gesamte Verteilung möglicher Messergebnisse berücksichtigt werden.

Die messbaren Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems werden durch Messgrößen (im Sprachgebrauch der Quantenmechanik allgemein als „Observable“ bezeichnet) beschrieben. Beispiele für solche Observable sind z. B. der Ort eines Teilchens, sein Impuls oder sein Drehimpuls. Hierbei ist zu beachten, dass die Observable nicht ein mögliches Messergebnis beschreibt, sondern das Konzept als solches. Die Observable „Ort“ sagt also nicht, wo das Teilchen gerade ist (eine solche Angabe ist, wie das Doppelspaltexperiment zeigt, in der Regel gar nicht möglich), sondern beschreibt abstrakt die Eigenschaft des Teilchens, an verschiedenen Orten gefunden werden zu können. Die theoretisch möglichen Messergebnisse einer solchen Observablen werden als Eigenwerte dieser Observablen bezeichnet.

Welche Werte aber tatsächlich gefunden werden können, hängt natürlich vom jeweiligen System ab. So ist es fast unmöglich, dass ein Objekt, das gerade auf der Erde gefunden wurde, in der nächsten Sekunde auf dem Mond gefunden wird. Diese Information wird durch den Zustand des Objekts beschrieben. Der Zustand des Objekts erlaubt es, für jeden möglichen Eigenwert jeder Observablen zu sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er gemessen wird.

Während Messwerte von Observablen in der Regel nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden können, gibt es für jede Observable bestimmte Zustände, für die der Messwert der Observablen mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, wenn sich das System in diesem Zustand befindet. Diese Zustände heißen Eigenzustände der Observablen. Hierbei ist zu beachten, dass verschiedene Observablen in der Regel unterschiedliche Eigenzustände haben. Ein System, das sich in einem Eigenzustand der einen Observablen befindet, das also erlaubt, den zugehörigen Messwert mit Sicherheit vorherzusagen, befindet sich dann nicht in einem Eigenzustand der anderen Observablen, es ist also prinzipiell nicht möglich, mit Sicherheit vorherzusagen, welchen Wert eine Messung dieser anderen Observablen ergeben wird. Ein Beispiel hierfür sind Ort und Impuls: Bei bekanntem Ort eines Teilchens (Ortseigenzustand) ist sein Impuls völlig unbestimmt, und umgekehrt. Solche Paare von Observablen, bei denen die Kenntnis des Wertes der einen eine totale Unkenntnis des Wertes der anderen Observablen impliziert, heißen zueinander komplementär.

Alle möglichen Zustände eines Systems können beschrieben werden, indem den Eigenzuständen einer Observablen dieses Systems komplexe Zahlen zuordnet werden, wobei das Quadrat des Betrags dieser Zahl gerade die Wahrscheinlichkeit angibt, bei einer Messung der Observablen den zu diesem Zustand gehörige Eigenwert zu messen. Aufgrund letzterer Eigenschaft heißen diese komplexen Zahlen auch Wahrscheinlichkeitsamplituden. Für den Ort als Observable liefert dies eine Beschreibung des Zustands als komplexe Funktion des Ortes. Da die Zeitentwicklung dieser Funktion einer Wellengleichung, der Schrödingergleichung, gehorcht, heißt diese Beschreibung des Zustandes als Funktion des Ortes auch Wellenfunktion.

Das System nach einer idealen Messung einer Observablen wird durch genau den zum Messwert gehörigen Eigenzustand dieser Observablen beschrieben. Eine unmittelbar danach erfolgende erneute Messung derselben Observablen wird daher mit Sicherheit denselben Messwert liefern. Dies ist selbst dann der Fall, wenn das System sich vorher nicht in diesem Eigenzustand befand. Diese Änderung des Zustands heißt auch Kollaps der Wellenfunktion.

Für die mathematische Beschreibung einer Observablen sind vor allem die folgenden Eigenschaften einer Messung wesentlich:

• Die Messung ergibt in jedem Fall einen Messwert. Das heißt insbesondere, dass für jeden Zustand bei einer Messung mindestens einem Eigenwert der Observablen eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit zugeordnet sein muss und dass die Summe aller Wahrscheinlichkeit 1 ergeben muss.
• Das Ergebnis der Messung ist stets eine reelle Zahl. Da in der Zustandsbeschreibung komplexe Zahlen verwendet werden, ist dies mathematisch keine Selbstvertändlichkeit.

Diese Bedingungen werden mathematisch durch selbstadjungierte Operatoren erfüllt. Dementsprechend werden Observablen in der Quantenmechanik mathematisch durch solche Operatoren beschrieben.

Diskussion

Auch dieses Kapitel habe ich ersetzt, durch eines, das den fachlichen Anspruch hoffentlich etwas zurückdreht und die Anklänge von Messprozess auslässt. Als nächstes möchte ich das Messprozess-Kapitel noch etwas überarbeiten und da den zentralen Punkt, dass die Messung den Zustand verändert, etwas präziser herausarbeiten. Ist diese Ersetzung erstmal ok, oder ist das neue Kapitel immer noch zu schwierig/geschwätzig oder sonstwie mangelhaft? -- 217.232.47.95 18:02, 3. Sep. 2007 (CEST)

Ich find's viel besser, als das alte! ... ich finde den Absatz mit den komplexen Zahlen irgendwie noch nicht so schön ... wie wäre es denn damit:

Die Eigenzustände ermöglichen eine mathematische Beschreibung eines beliebigen Zustands. Dabei setzt man einen beliebigen Zustand aus Eigenzuständen zusammen. Man ordnet dabei jedem Eigenzustand eine komplexe Zahl zu, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit angibt, den entsprechenden Eigenwert als Messwert für den Zustand zu erhalten. Aufgrund letzterer Eigenschaft heißen diese komplexen Zahlen Wahrscheinlichkeitsamplituden. Für den Ort als Observable liefert dies eine Beschreibung des Zustands als komplexe Funktion des Ortes, die als Wellenfunktion bezeichnet wird. Das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion gibt nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein teilchen an einem bestimmten Ort an.

Irgendwie weiß ich nicht so recht, ob man hier wirklich die komplexen zahlen einführen muss ... eigentlich ja schon, aber gefallen tut's mir auch nicht (ist so ein diffuses Gefühl, das mich jedesmal beschleicht, wenn ich das lese. Der Abschnitt war ja so ähnlich schon länger im Artikel ... also evtl. nicht so wichtig nehmen, vor Allem, da mir auch nix besseres einfällt).

viele Grüße, --Jkrieger 18:17, 3. Sep. 2007 (CEST)

Deine Ergänzungen sind sinnvoll. Die komplexen Zahlen sind nicht wichtig für das Kernverständnis, denke ich. Einem Laien wirfts ohne Not Stöcke zwischen die Beine. Vielleicht machen wir erstmal ganz neutral "Zahlen" draus? -- 217.232.47.95 20:28, 3. Sep. 2007 (CEST)

Weitere Diskussionen

Ich kenne den Artikel und seine Geschichte eigentlich zu wenig und bin auch kein QM-Experte, sondern Experimentalphysiker, aber dennoch meine bescheidenen Kommentare zu Deiner sicherlich überfälligen und (wie mir scheint) gut vorbereiteten Arbeit. (PS: Das Folgende klingt vielleicht etwas ruppig, möge aber bitte nur als Vorschlag aufgefasst werden! :-)

• Der Artikel war und ist immer noch zu lang! Der Artikel soll ja kein Lehrbuch und nicht einmal eine Einführung in die QM sein, sondern lexikalisch erklären, was die QM ist, woher sie kommt und was sie für die Physik und uns alle bedeutet. Jeder Abschnitt des Artikels hat auch einen eigenen Artikel (oder ihn zumindest verdient), wo das alles im Detail beschrieben werden kann. Deshalb:
  • Die meisten Formeln raus. Nützt die Schrödinger-Gleichung bzw. die Bedeutung ihrer Terme dem Leser etwas? Nein, die kann in dem einen oder anderen Detail-Artikel erklärt werden. Aber in diesen Artikel hier gehört nur rein, dass es die Gleichung gibt und was man mit ihr macht (in Worten).
  • Statistischer Messprozess: Muss der ausgerechnet am Beispiel Spin erklärt werden? Das versteht niemand, der keine QM-Vorlesung gehört hat.

• Das erste Bild ist schön! Die Unterschrift aber völlig unverständlich für Laien. Wie wäre es mit "Eine Konsequenz der Quantenmechanik: Dichten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Wasserstoffatom", vielleicht mit dem Zusatz "für verschiedene Energiezustände"?

• Die Geschichte der QM sollte meiner Meinung nach an den Anfang! Eine Schande, dass die solange soweit unten stand! Die jetzige Einführung kann man sich so sparen und statt dessen gleich einen Abriss der Geschichte schreiben. Wie kam es zur QM? Warum wurde sie nötig? Wer hat was dazu beigetragen? Die Abschnitte "Wichtige Personen" und "Richtungsweisende Experimente" können hier komplett in die Sätze einfliessen. Damit hat der Leser schon mal einen Überblick, was das Ganze überhaupt soll, und zwar von den Anfängen bis heute. Danach kommen wir dann zu den einzelnen Aussagen der QM, Anwendungen usw.

• Nicht erwähnt werden die Artikel Molekularphysik und Quantenchemie (die meiner Meinung nach zusammen gehören). Sollten sie aber.

• Der Abschnitt "Siehe auch" ist im Moment sehr dürftig und die dort stehenden Artikel sehr selektiv. Eigentlich bräuchten wir einen eigenen "Siehe auch-Artikel" :-)

Soviel erstmal. Gute Arbeit! Und gutes Gelingen! --Onno 22:17, 17. Aug. 2007 (CEST)

Danke für deine Meinung. Die Einleitung macht mich auch nicht ganz glücklich. Da könnte tatsächlich das Geschichtskapitel hingesetzt werden. Eventuell kann man das auch etwas raffen und bei Quantenphysik die Geschichte mit allen Details voll ausbreiten. Mal sehen, wofür sich Zustimmung finden lässt. -- 88.76.229.224 03:59, 18. Aug. 2007 (CEST)

Ich habe ein alternatives Kapitel zum Messprozess gebastelt. Wäre dankbar für Rückmeldung. -- 217.232.45.247 23:10, 20. Aug. 2007 (CEST)

Hi! Ich hab mir erlaubt ein paar Sachen in der Geschichte zu glätten ... nix großes ;-) Ich hoffe das war OK. Ich finde, "Grundlegende Eigenschaften" stehen momentan etwas nakt da! Wenn man den Artikel liest, kann man der Geschichte ja noch gnaz gut folgen, aber dann hebt das ganze ab! Ich würde das etwas anders aufbauen:

1. Welche Phänomene kann die klassische Physik nicht erklären (nur kurz darauf eingehen
2. Wie kann die QM da weiterhelfen

Für den zweiten Punkt würde ich etwas in der Art schreiben:

Die Quantenmechanik bildet eine auf wenigen Axiomen aufbauende Theorie, die die im letzten Abschnitt aufgezeigten Probleme elegent beschreiben kann. Der Formalismus umfasst folgende Haupteigenschaften:

Observablen und Zustände: ...

statistische Messprozess, Kollaps der Wellenfunktion: ...

Unschärferelation: ...

Welle-Teilchen-Dualismus: ...

Zeitentwicklung: ...

Die jeweiligen Unterabschnitt müssen dabei aber noch wesentlich einfacher formuliert werden. Ich gebe hier mal ein paar Beispiele, die ich (ohne Vorwissen) wohl nicht verstehen würde:

In Observablen und Zustände wird nie richtig erklärt, was ein Zustand ist, oder hab ich's übersehen? Das geht gleich mit Observablen los. In der KM (klassischen Mechanik) ist ja das Paar [r(t), p(t)] so eine Art Zustand, wie ist das in der QM? Wie wäre es denn mit folgender Formulierung:

In der Quantenmechanik kann der Ort und die Geschwindigkeit eines Systems nicht mehr exakt angegeben werden. Man kann nur eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass sich ein Teilchen an einem bestimmten Ort mit einer bestimmten Geschwindigkeit befindet. Diese Tatsache wird durch Einführung eines abstrakten Zustandsbegriffes dargestellt. Dieser Zustand (mathematisch ein normierter Vektor in einem Hilbertraum) beschreibt nun die komplette Wahrscheinlichkeitverteilung für die Eigenschaften des Systems. So kann man z.B. aus ihm die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens an jedem beliebigen Ort berechnen.

Die möglichen Messgrößen in einem physikalischen System werden dann durch sog. Observablen beschrieben. Diese Observablen können als eine Art Messvorschrift, die auf einen Zustand angewendet werden kann, interpretiert werden. Mathematisch handelt es sich um Operatoren über dem oben erwähnten Hilbertraum. So beschreibt also die Observable Ort das Konzept einer Ortsmessung. Wendet man sie auf einen quantenmechanischen Zustand an, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das AUftreten eines gewissen Messergebnisses.

... ich glaube das genügt erstmal zu Observable und Zustand, alles weitere ist eigentlich schon Messprozessc... wäre das besser so? Dann also weiter beim Messprozess:

Das Konzept der Zustände und Observablen führt bisher nur auf Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Messergebnisse. Wenn man aber eine reale Messung (im Labor) durchführt, so erhält man immer ein Ergebnis (z.B. einen Ort für ein Teilchen). In der klassischen Mechanik war eine Messung ein einfacher Vorgang. Man konnte Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens immer problemlos bestimmen. In der Quantenmechanik ist dies nun ein statistischer Vorgang. Misst man z.B. den Ort verschiedene Teilchen, die sich aber alle im gleichen Zustand befinden, so wird man nach obiger Wahrscheinlichkeitsverteilung streuende Messwerte erhalten. Beobachtet man die selben teilchen nach der Messung nochmals, so wird man feststellen, dass sie sich nun alle in leicht unterschiedlichen Zuständen besfinden (wir haben sie ja durch die Messung genau lokalisiert, was sie vorher nicht waren). Diese Beobachtung macht es nun nötig, dass der Messprozess explizit in die Theorie aufgenommen wird; und zwar als Vorgang, der auf das System Einfluss nimmt. Jeder Observable kann ein Satz von möglichen Messwerten (die sog. Eigenwerte) zugeordnet werden. Zu jedem dieser möglichen Messwerte gehört ein sog. Eigenzustand, der die besondere Eigenschaft hat immer diesen Messwert zu ergeben (in gewisser Weise ist die obige Wahrscheinlichkeitsbeschreibung hier also nict gültig). In der Quantenmechanik wirkt die Messung nun so, dass sich das System nach der Messung im Eigenzustand zum gemessenen Eigenwert befindet. Dies nennt man auch Kollaps des Zustandes bzw. der Wellenfunktion. Wenn man vor einer Messung also 10 Teilchen hat, die sich alle im selben Zustand befinden, hat man nach der Messung 10 Teilchen, die sich in unterschiedlichen Zuständen (aber alle in Eigenzuständen) befinden.

... und dann Welle-Teilchen-Dualismus ... usw.

Was meinst Du zu meinen Vorschlägen? Viele Grüße, Jkrieger 21:54, 29. Aug. 2007 (CEST)

Hallo, die Überarbeitung ist natürlich ok (obwohl ich die Einzelnachweise lieber hinter die Satzzeichen klebe). Deinen Vorschlägen kann ich nur teilweise zustimmen.

• Eine kurze Erwähnung der alten Quantentheorien (mit den wichtigsten Eigenschaften) im Geschichts- oder einem eigenen Teil könnte durchaus hilfreich sein.
• Das klassische Analogon bei Zustand und Observable ist sicher gut zur Illustration aber dein Textvorschlag enthält schlimme Dinge wie "normierter Vektor in einem Hilbertraum" was nicht so gut geht. Du hast recht, dass man den Zustand zunächst mal im Kontrast zum klassischen Bild als abstrakte Entität darstellen sollte aber zur formalen Beschreibung finde ich den jetzigen Weg über "Linearkombinationen von Eigenzuständen" besser. Redundanzen zum Messprozess gibts tatsächlich; die müssen noch etwas geklärt werden.
• Auch der zweite Abschnitt gefällt mir sprachlich nicht so. Aber ich verstehe deine "Message". Ich habe ein paar Ideen, wie ich die Messprozess-Stücke aus dem Kapitel davor raushole, ohne dabei zu viel Stringenz zu verlieren. Ich denke, dass man auch ohne Erklärung des Messprozesses Eigenzustände halbwegs glaubwürdig erklären kann und so...

Tut mir leid, dass es im Moment nicht so recht vorwärts geht. -- 88.77.229.247 13:55, 1. Sep. 2007 (CEST)

Was findest Du an "normierter Vektor in einem Hilbertraum" falsch? Oder ist's eher einfach zu theoretisch geschrieben? Naja, ich hab ja oben schon Deinen neuen Abschnitt kommentiert und finde es so jetzt schon ziemlich gut :-)))

Ach ja noch ein Kommentar zu den Formulierungen: Ich wollte nur ein paar Anregungen geben ... ich hab vor etwa 1/2-1 Jahr schon mal massiv an dem Artikel gearbeitet und damals einige Enttäuschungen erlebt (naja, im wesentlichen gab's erstmal nur Diskussionen mit Pöbeleien und danach ist die Arbeit eingeschlafen) ... insofern hab ich in meine Vorschläge nicht so viel Zeit investiert und es schön auskommentiert. Ich hoffe Dir ergeht's nicht ähnlich und der Artikel wird jetzt endlich lesenswert ... super, dass Du Dich da etwas reinhängst :-))))) cu --Jkrieger 18:24, 3. Sep. 2007 (CEST)

Falsch nicht, nur laienuntauglich, also "zu theoretisch". ;)

Ja ich weiß, der Artikel ist sehr umkämpft. Ich war damals auch kurz dabei, habe mich dann aber erst derallgemeinen Relativitätstheorie gewidmet. Die ist kürzlich haarscharf exzellent geworden, daher lasse ich sie nun erstmal (etwas) ruhen und kümmere mich um diesen Artikel. -- 217.232.47.95 20:34, 3. Sep. 2007 (CEST)

Weg von Teilchen durch Doppelspalt

Im Abschnitt zum Doppelspalt stehen einige Aussagen, die mir dubios vorkommen. Es wird mehrfach behauptet, dass die einzelnen Elektronen durch beide Spalte gehen. Zumindest für die gängisten Interpretationen stimmt das nicht: Die Kopenhagener Interpretation "verbietet" solche Aussagen über nicht beobachtbare Eigenschaften, in der Bohmschen Mechanik geht jedes Elektron nur durch einen Spalt, und auch die "consistent histories" Interpretation besagt, dass jedes Teilchen nur durch einen Spalt geht. Ich schlage vor, dass wir uns bei dem Kapitel auf die wesentlichen Punkte "Statistik" und "interferenz" beschränken, und die problematischen Aussagen zum Weg der Elektronen rausschmeissen.--Belsazar 23:32, 3. Sep. 2007 (CEST)

Hmm, genau diese Formulierung habe ich eigentlich zu vermeiden getrachtet: "Diese Verteilung ist nur erklärbar, wenn für jedes Elektron beide Wege mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0 durchlaufen werden, das heißt für keines der Elektronen lässt sich entscheiden, durch welchen der Spalte es geflogen ist." Hier steht nichts davon, dass die Elektronen durch beide Spalte laufen, sondern nur, dass prinzipiell nicht entscheidbar ist, durch welchen Spalt ein Elektron nun gelaufen ist. Die Formulierung "Die Änderung des Interferenzmusters illustriert noch einmal, dass das zuvor erläuterte erste Experiment nicht erklärbar ist, wenn für jedes Elektron angenommen wird, dass es nur durch einen der Spalte geflogen sein kann." bezieht sich ebenfalls auf ein "Nichtwissen" im Sinne der kopenhagener Interpretation, ist allerdings etwas suggestiv formuliert.

Ich denke außerdem, dass die Umpolung auf Interferenz nicht zielführend ist. Ich finde es wichtig herauszuarbeiten, dass in der QM die Zeitentwicklung vollständig deterministisch ist und die "Statistik" nur durch den Messprozess zustande kommt. Außerdem erklärt das neue Obeservablen/Zustände-Kapitel nicht, dass der Messprozess den Zustand beeinflusst. Daher halte ich ein Kapitel zum Messprozess durchaus für sinnvoll, wenn auch nicht in der Form vor deiner Umwandlung. Ich werde mal an einem alternativen (insbesondere kürzeren) Kapitel arbeiten, wenn du nichts dagegen hast.

Die Superposition, die das jetzige Kapitel anspricht, gehört meines Erachtens eher ins Kapitel zur Zeitentwicklung. -- 217.232.47.159 17:07, 4. Sep. 2007 (CEST)