Wellengleichung

Als Wellengleichung bezeichnet man eine partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von Wellen modelliert und darüber hinaus (zusammen mit zahlreichen Varianten) auch als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse ist.

Die homogene Wellengleichung

Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

$u(x_{1},...,x_{n},t)$

im n-dimensionalen Raum

der Form

$c^{2}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$.

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion von x_i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung ist vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet

$c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$

(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung

$u\left(x,t\right)=f(x+ct)+g(x-ct)$

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende ebene Welle.

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form

$u(x,t)=A\sin(kx\pm \omega t+\phi )$

bzw.

$u(x,t)=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx\pm \omega t)}$

haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase $\phi$ im komplexen Vorfaktor A), wobei

$\omega =k\cdot c\,$

Lösung mit speziellen Anfangsbedingungen

Sei also $u\left(x,t\right)=f(x+ct)+g(x-ct)$ die allgemeine Lösung der Wellengleichung und $u\left(x,0\right)=\phi (x)$ sowie $u_{t}\left(x,0\right)=\psi (x)$ zwei Anfangsbedingungen, dann folgt:

$u\left(x,0\right)=f(x)+g(x)=\phi (x)$

$u_{t}\left(x,0\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)=\psi (x)$

Integration der zweiten Gleichung ergibt:

$f(x)-g(x)={\frac {1}{c}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi ,$

Durch Auflösen erhält man:

$f(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)$

$g(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int _{x}^{x_{0}}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)$

Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach:

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x+ct)+\phi (x-ct)+{\frac {1}{c}}\int _{x-ct}^{x+ct}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)$

Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen

$A\sin({\vec {k}}{\vec {x}}\pm \omega t+\phi )$

bzw.

$u({\vec {x}},t)=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\vec {k}}{\vec {x}}\pm \omega t)}$

mit

$\omega =\left|{\vec {k}}\right|c$

geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von ${\vec {k}}$.

Allgemeine Wellengleichung

Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung

$\left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0$.

Dabei ist $c$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit und $\Delta$ der Laplaceoperator.

Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator ("Viereckoperator") vereinfacht als

$\Box u=0$ schreiben.

Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

Die Herleitung der Wellengleichung aus der Telegraphengleichung

Die Herleitung der Wellengleichung findet unter Anwendung der maxwellschen Gleichungen in differentieller Form statt.

im folgenden gilt:

$\mu =\mu _{r}\cdot \mu _{0}$

$\epsilon =\epsilon _{r}\cdot \epsilon _{0}$

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu \cdot \epsilon }}}$ und im Falle $\mu _{r}=1,\epsilon _{r}=1$ ist $c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

$\kappa ={\frac {1}{\rho }}$ und entspricht der Leitfähigkeit ($\rho$ ist jetzt spez. Widerstand)

mit $\mu _{0}=4\cdot \pi \cdot 10^{-7}\mathrm {\frac {V\,s}{A\,m}}$ und $\epsilon _{0}=8{,}8542\cdot 10^{-12}\mathrm {\frac {A\,s}{V\,m}}$

Herleitung der Telegraphengleichung, um daraus die Wellengleichung zu bestimmen.

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ (Maxwell'sche Gleichung)

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\mu }{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {H}}$

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\mu }{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {H}}$ und mit $\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ (Maxwell'sche Gleichung)

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\mu }{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}-\mu {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {J}}$ nun mit ${\vec {J}}=\kappa {\vec {E}}$

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\mu }\epsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}-\mu \kappa {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}$

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\frac {1}{c^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\kappa }{c^{2}\epsilon }}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}$ (vgl. hier auch die Telegraphengleichung)

an dieser Stelle lassen sich mit Hilfe der Vektoranalysis bzw der Graßmann-Identität verschiedene Vereinfachungen vornehmen:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})$ auch bekannt als rot rot E, kann umgeschrieben werden zu

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla {\vec {E}})-(\nabla \nabla ){\vec {E}}.$

Und unter der Bedingung, dass gilt: $\nabla {\vec {E}}=0$ (Maxwell: $\nabla {\vec {D}}=\rho$ und der Raumladungsdichte $\rho =0$)

kann vereinfacht geschrieben werden:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla ^{2}{\vec {E}}$

Für einen metallischen Leiter gilt somit:

$\kappa$ ist groß. (dies entspricht einer hohen Leitfähigkeit)

In dem Falle ist die Raumladung $\rho$ zu vernachlässigen ($\rho =0$),

da sie mit der Zeitkonstanten $\tau ={\frac {\epsilon }{\kappa }}$ abklingt. (vergleiche auch die Elektrostatik)

mit $\rho =0$ und Maxwell: $\nabla {\vec {D}}=\rho$ folgt $\nabla {\vec {E}}=0$,

womit aus der Telegraphengleichung die Diffusionsgleichung folgt:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {\kappa }{c^{2}\epsilon }}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}$ oder $\nabla ^{2}{\vec {E}}=\kappa \mu {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}$

Für einen Isolator gilt im materiefreien Raum (näherungsweise auch Luft) allerdings:

Raumladungsdichte $\rho =0$

und mit $\kappa =0$ bzw. ${\vec {J}}=0$

erhält man aus der Telegraphengleichung unmittelbar die Wellengleichung :

$\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$ oder $\nabla ^{2}{\vec {E}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Wellengleichung für anisotrope Körper

In anisotropen Körpern ist die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ und die elektrische Verschiebungsdichte ${\vec {D}}$ nicht mehr gleich gerichtet. Damit kann die dielektrische Funktion $\varepsilon$, welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:

$\varepsilon \cdot {\vec {E}}=n^{2}({\vec {E}}-{\vec {k}}({\vec {E}}\cdot {\vec {k}}))$

Die Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik.

Wellengleichung in kovarianter Formulierung

In der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik lauten die inhomogenen Maxwellgleichungen:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }$ ,

wobei $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$. In Lorenz-Eichung $\partial _{\mu }A^{\mu }=0$ ergibt sich:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }$

Die Herleitung ist also im 4er-Formalismus um einiges einfacher. Die Wellengleichung lautet also (sie ist im Übrigen Lorentz-invariant, allerdings nicht Galilei-invariant):

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }$

Akustische Wellengleichung in Flüssigkeiten und Gasen

Die akustische Wellengleichung wird abgeleitet aus der Newtonschen Kraftgleichung in differentieller Form

$-\operatorname {grad} \,p=-\nabla \,p=\rho _{0}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$

mit dem Druck $p$, der Dichte $\rho$ und der Schallschnelle (Partikelgeschwindigkeit) ${\vec {v}}$.

Die zweite Grundgleichung ist die Kontinuitätsgleichung

$\operatorname {div} \,{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{0}c^{2}}}{\frac {\partial p}{\partial t}}$

mit der Schallgeschwindigkeit $c={\sqrt {\frac {\partial p}{\partial \rho }}}$.

Aus beiden Gleichungen zusammen folgt

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,p=\nabla \,\nabla \ p=\Delta \,p=-\rho _{0}\,\operatorname {div} \,{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}$,

die in der Form genau der elektromagnetischen Wellengleichung entspricht. Weil aber der Schalldruck $p$ anders als die elektrische Feldstärke $E$ eine skalare Größe ist, gibt es bei akustischen Wellen keine Polarisation.