Klein-Gordon-Gleichung

Die Klein-Gordon-Gleichung (nach Oskar Klein und Walter Gordon) war der erste Versuch einer Wellengleichung zur Beschreibung einer relativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt das Verhalten von Teilchen mit dem Spin 0, wie etwa manche Mesonen.

Gleichzeitig stellt sie die Vorstufe der Dirac-Gleichung dar, welche von Paul Dirac als 'formale Quadratwurzel' entwickelt wurde.

Herleitung

Die Schwierigkeit der Herleitung dieser Gleichung liegt darin, dass die übliche Vorgehensweise, die bei der Behandlung quantenmechanischer Systeme verwendet wird, zu einem Hamiltonoperator mit äußerst schwerwiegenden Mängeln führt. Anstatt also eine klassische Hamiltongleichung mit Korrespondenzregeln zu quantisieren und diesen Operator dann in die Schrödingergleichung einzusetzen, muss hier ein gänzlich anderes Vorgehen gewählt werden. Als zentralen Ausgangspunkt der Herleitung wählen wir den Viererimpuls:

$p^{\mu }=\gamma m_{0}v^{\mu }=\gamma m_{0}\left({\begin{array}{c}c\\\mathbf {v} \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}E-e\phi \\\mathbf {p} -e\mathbf {A} \end{array}}\right)$

Die letzte Gleichheit gilt dabei wegen der klassischen Energie und dem klassischen Impuls bei Berücksichtígung elektromagnetischer Felder:

$E=\gamma m_{0}c^{2}+e\phi \qquad {\rm {und}}\qquad \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} +e\mathbf {A}$.

Die Norm dieses Vierervektors beträgt

$p_{\mu }p^{\mu }=m_{0}^{2}\gamma ^{2}v_{\mu }v^{\mu }=m_{0}^{2}\gamma ^{2}(c^{2}-\mathbf {v} ^{2})=m_{0}^{2}{\frac {c^{2}}{c^{2}-\mathbf {v} ^{2}}}(c^{2}-\mathbf {v} ^{2})=m_{0}^{2}c^{2}$.

Damit erhält man eine verallgemeinerte Energie-Impuls-Beziehung

${\frac {(E-e\phi )^{2}}{c^{4}}}c^{2}-(\mathbf {p} -e\mathbf {A} )^{2}=m_{0}^{2}c^{2}$

$(E-e\phi )^{2}-(\mathbf {p} -e\mathbf {A} )^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$

An dieser Stelle ist klar ersichtlich, dass sich für $\phi =A_{1}=A_{2}=A_{3}=0$ die Energie-Impuls-Beziehung $E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(\mathbf {p} c)^{2}$ ergibt.

Die Klein-Gordon-Gleichung entsteht durch kanonische Quantisierung der allgemeinen relativistischen Beziehung. Dies geschieht durch Anwendung der Korrespondenzregeln, also dem Ersetzen bestimmter Messgrößen der klassischen Mechanik durch Operatoren:

$E\rightarrow \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\qquad p\rightarrow {\frac {\hbar }{\mathrm {i} }}\nabla$

Die allgemeine Klein-Gordon-Gleichung lautet also

${\bigg [}{\bigg (}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\phi {\bigg )}^{2}-c^{2}{\bigg (}{\frac {\hbar }{\mathrm {i} }}\nabla -e\mathbf {A} {\bigg )}^{2}{\bigg ]}\Psi (\mathbf {r} ,t)=m_{0}^{2}c^{4}\Psi (\mathbf {r} ,t)$.

Im Gegensatz zur Schrödingergleichung handelt es sich hierbei um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit. Zur Diskussion von Grenzfällen, Problemen und Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung beschränken wir uns nun auf den feldfreien Fall:

${\bigg [}{\bigg (}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\bigg )}^{2}-c^{2}{\bigg (}{\frac {\hbar }{\mathrm {i} }}\nabla {\bigg )}^{2}{\bigg ]}\Psi (\mathbf {r} ,t)=m_{0}^{2}c^{4}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

${\bigg (}-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\bigg )}\Psi (\mathbf {r} ,t)=m_{0}^{2}c^{4}\Psi ({\vec {r}},t)$

${\bigg (}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\Delta {\bigg )}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\Psi ({\vec {r}},t)$

${\bigg (}\Box +{\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg )}\Psi (\mathbf {r} ,t)=0$,

wobei $\Box$ der Quabla-Operator ist. Die Kovarianz dieser Gleichung ist eindeutig erkennbar. Darüberhinaus ergibt sich für m₀ = 0 die relativistische Wellengleichung der Elektrodynamik.

Probleme der freien Klein-Gordon-Gleichung

Die Kontinuitätsgleichung der Quantenmechanik ist eine direkte Folge der Gültigkeit der Schrödingergleichung. Da wir jedoch nicht von dieser ausgegangen sind, ist die Konstruktion eines entsprechenden Ausdrucks für die Klein-Gordon-Gleichung zwingend erforderlich. Dazu multiplizieren wir die freie Gleichung mit $\Psi ^{*}$ und subtrahieren davon das Produkt der komplex konjugierten Klein-Gordon-Gleichung und $\Psi$:

$\Psi ^{*}{\bigg [}\Box +{\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg ]}\Psi -\Psi {\bigg [}\Box +{\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg ]}\Psi ^{*}=0$

$\Psi ^{*}\Box \Psi +\Psi ^{*}{\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\Psi -\Psi \Box \Psi ^{*}-\Psi {\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\Psi ^{*}=0$

$\Psi ^{*}\Box \Psi -\Psi \Box \Psi ^{*}=0$

$\partial ^{\mu }(\Psi ^{*}\partial _{\mu }\Psi -\Psi \partial _{\mu }\Psi ^{*})=0$

${\frac {\partial }{\partial t}}{\bigg [}{\frac {\mathrm {i} \hbar }{2m_{0}c^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}{\bigg ]}+\mathrm {div} \!{\bigg [}{\frac {\hbar }{2m_{0}\mathrm {i} }}{\bigg (}\Psi ^{*}(\nabla \Psi )-\Psi (\nabla \Psi ^{*}){\bigg )}{\bigg ]}=0$

Dies hat die Form einer Kontinuitätsgleichung ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} {\vec {j}}=0$. Wir führen daher die folgenden Identifikationen durch:

$\rho (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathrm {i} \hbar }{2m_{0}c^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}$

$\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2m_{0}\mathrm {i} }}{\bigg (}\Psi ^{*}(\nabla \Psi )-\Psi (\nabla \Psi ^{*}){\bigg )}$

Betrachtet man jedoch die Dichte $\rho (\mathbf {r} ,t)$ so stellt man fest, dass diese nicht positiv definit ist. Das ist eine der größten Schwierigkeiten bei der Klein-Gordon-Gleichung. Eine Lösungsidee ist die Interpretation von $\rho (\mathbf {r} ,t)$ als Ladungsdichte. Das hat zur Folge, dass eine relativistische Quantenmechanik Ladungen voraussagt!

Ein weiteres Problem liegt im Auftreten von Lösungen mit negativer Energie und wird im Folgenden erläutert.

Lösung der freien Klein-Gordon-Gleichung

Zur Lösung der freien Klein-Gordon-Gleichung verwenden wir den Ansatz der ebenen Wellen

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\exp(\mathrm {i} [\mathbf {k} \mathbf {r} +\omega t]).$

Eingesetzt in die freie Klein-Gordon-Gleichung, liefert dieser Ausdruck die Bedingung

$\hbar ^{2}\omega ^{2}=c^{2}\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}+m_{0}^{2}c^{4},$

welche mit $E=\hbar \omega$ und $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$ erneut die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ergibt. Die allgemeine Lösung der freien Klein-Gordon-Gleichung lautet also

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int d^{3}kA(\mathbf {k} )\cdot \exp {\bigg (}{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}[\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} +E\cdot t]{\bigg )}.$

Probleme der Lösung

Löst man die relativistische Energie-Impuls-Beziehung nach der Energie E auf, erhält man den Ausdruck

$E=\pm {\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2}}}.$

Es existieren also Lösungen mit negativer Energie. Bereits Schrödinger hatte die Klein-Gordon-Gleichung hergeleitet, sie dann aber aus genau diesem Grund wieder verworfen. Er zweifelte an dem physikalischen Sinn der Lösung. Paul Dirac jedoch fand 1930 eine physikalische Interpretation dieser negativen Energien, den Dirac-See. Ein weitaus größeres Problem der Klein-Gordon-Gleichung ist, dass sie keine positiv-definite Wahrscheinlichkeitsdichte für die Position eines Teilchens garantiert.