Normalverteilung

Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist die wichtigste kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve oder Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen in der Grenze $n\rightarrow \infty$ normalverteilt ist.

Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$,

wobei $\sigma$ die Standardabweichung und $\mu$ der Erwartungswert ist.

Ist eine Zufallsvariable $X$ normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$, so schreibt man $X\sim N(\mu ,\sigma )$.

Standardnormalverteilung

Ist der Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1, so spricht man von einer standardnormalverteilten Variable. Eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit beliebigen Parametern kann mittels der Transformation

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

in eine standardnormalverteilte Variable $Z$ überführt werden.

So sieht die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung aus. Angegeben sind die Intervalle im Abstand 1, 2 und 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0, die rund 68%, 95,5% und 99,7% der Fläche unter der Glockenkurve umfassen.

Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung, die nicht direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft aber mit wachsendem n sehr schnell, so dass schon die Verteilung einer Summe von 30 oder 40 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ähnlich ist.

Die Glockenkurve schmückte neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß bis 2001 die 10-DM-Banknote der Bundesrepublik Deutschland.

Simulation von normalverteilten Zufallsvariablen

Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X$ lässt sich unter anderem mit der Box-Muller-Methode aus zwei gleichverteilten Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}\sim U(0,1)$ simulieren:

$X={\sqrt {(-2\log u_{1})}}\;cos(2\pi u_{2})$

Die Methode von Marsaglia ist auf einem Computer noch schneller, da sie nur einen Logarithmus benutzt:

1. Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}=U(0,1)$
2. Berechne $v=(2u_{1}-1)^{2}+(2u_{2}-1)^{2}$. Falls $v\geq 1$ wiederhole 1.
3. $x=(2u_{1}-1)(-2\log v/v)^{1/2}$

Durch lineare Transformation lassen sich hieraus auch beliebige Normalverteilte Zufallszahlen generieren: Ist die Zufallsvariable X $N(0,1)$-verteilt, so ist aX+b schließlich $N(b,a^{2})$-verteilt.

Mehrdimensionale Normalverteilung

Dichte der zweidimensionalen Standardnormalverteilung

Das Wahrscheinlichkeitsmass $N^{n}(0,1)$ auf $\mathbb {R} ^{n}$, das durch die Dichte

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {1 \over {\sqrt {(2\pi )^{n}}}}\exp {\bigg (}-{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}{\bigg )}$

definiert wird, heisst Standardnormalverteilung der Dimension n.

Ein Wahrscheinlichkeitsmass P auf $\mathbb {R} ^{n}$ heisst n-dimensionale Normalverteilung, wenn eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ und ein Vektor $b\in \mathbb {R} ^{n}$ existieren, so dass mit der affinen Abbildung $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\ x\mapsto Ax+b$ gilt: $P=N^{n}(0,1)u^{-1}$.

Ein Zufallsvektor $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ist standardnormalverteilt auf $\mathbb {R} ^{n}$ genau dann, wenn $X_{1},\ldots ,X_{n}$ standardnormalverteilt und stochastisch unabhängig sind.

Weblinks

• http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/hjawww/glossar/node132.html
• http://barolo.ipc.uni-tuebingen.de/pharma/2/2.2/standard_verteil.html
• http://www.madeasy.de/2/gauss.htm
  • Möglichst verständlich mit Programmcode in Visual Basic

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siehe auch: Wahrscheinlichkeitspapier, Statistik