Funktion (Mathematik)

Vorlage:Mathematische Symbole Eine Funktion - häufig wird synonym auch Abbildung verwendet - drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: y = 2x + 3 oder y = x².

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A (dem Funktionsargument oder x-Wert) genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B (den Funktionswert oder y-Wert) zu. Eine Funktion hat demnach zwei wichtige Eigenschaften:

1. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird ein y-Wert zugeordnet

2. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird nur ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung.

Eine Funktion ist daher eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. Die Funktions-Eigenschaft ist also: $\forall \left(f:A\to B\right):\forall \left(a\in A\right):\exists !\left(b\in B\right):\left(\left(a,b\right)\in f\right)$

Schreibweisen und Sprechweisen

$f\colon A\to B$
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f ⊆ A × B,
"Funktion f von A nach B"

$f\colon x\mapsto f(x)$
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.
"x wird abgebildet auf f von x"

"x wird der Funktion f von x [ f(x) ] zugeordnet"

"y ist f von x".

Funktionen werden häufig grafisch als Funktionsgraph dargestellt, also durch den Weg (Mathematik) der aus jenen Punkten besteht, die der Funktionsgleichung genügen.

Beispiele

Die Normalparabel: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;x\mapsto f(x)=x^{2}$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;\;x\mapsto s(x)=x+1$

Wichtige Begriffe

Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt aus Faser von y.
Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs maximal ein Urbild hat.
Sie ist ]], wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.

Reelle Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktion:

$f:{\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }$

Algebraische Funktionen

algebraische Funktion
- homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
- allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
- Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
- Potenzfunktion
- Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
  $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}$
- Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
- Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke

Analytische Funktionen

analytische Funktion
elementare Transzendente Funktionen
- Exponentialfunktion
- Logarithmus
- Kreis- und Hyperbelfunktionen
  - Trigonometrische Funktion : - sin, cos, tan, cot, sec, csc
  - Hyperbelfunktion : - sinh, cosh, tanh, coth
  - Arcus-Funktion : - arcsin, arccos, arctan, arccot
  - Area-Funktion : - arsinh, arcosh, artanh, arcoth
Spezielle Funktionen
sontige Funktionen
- Logistische Funktion
- Gaußsche Glockenkurve
unsortiert
- Konkave Funktion
- Lokal konstante Funktion

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

Weitere Funktionen

Siehe auch

Weblinks