Sankt-Petersburg-Paradoxon

In der Statistik und der ökonomischen Entscheidungstheorie kommt das St. Petersburg Paradoxon vor, in dem zwar der Erwartungswert unendlich ist, ein rationaler Spieler jedoch nur zu einem sehr geringen Einsatz bereit wäre.

Die Konstellation

Sie bezahlen einen vorher festgelegten Einsatz und anschließend wird eine Münze solange geworfen, bis zum erstenmal "Kopf" erscheint. Sollte dies beim ersten Wurf der Fall sein, gewinnen Sie 2 Cent, beim 2. Wurf 4 Cent, beim 3. Wurf 8 Cents usw. Bei jedem weiteren Wurf wird der Gewinn verdoppelt. Daraus ergibt sich als Gewinn 2^k Cent − den Einsatz, wenn die Münze k-mal geworfen wird.

So, und welchen Einsatz wären Sie nun maximal bereit zu bieten?

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf einen Kopf zu haben, ist $p_{1}={\frac {1}{2}}$, erst beim zweiten Wurf einen Kopf zu haben, ist $p_{2}={\frac {1}{2^{2}}}$, oder abstrahiert beim k-ten Wurf $p_{k}={\frac {1}{2^{k}}}$. Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1 € zu gewinnen, ist bereits schlechter als 1:100, für 10 €, ist man schon unter 1:1000.

Der Erwartungswert für den Gewinn, ist die Summe über die Wahrscheinlichkeit, dass beim k-ten Wurf "Kopf" kommt multipliziert mit dem Gewinn beim k-ten Wurf (2^k). Oder mathematisch ausgedrückt:

$E=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}2^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over 2}2+{1 \over 4}4+{1 \over 8}8+{1 \over 16}16+...=\sum _{k=1}^{\infty }1=\infty .$

Die Summe geht gegen unendlich und so würde die traditionnelle Theorie empfehlen, unabhängig vom zu zahlenden Einsatz am Spiel teilzunehmen (selbst wenn ein Spiel 1 Milliarde € kostet), denn langfristig ergibt sich aus diesem Spiel ein Gewinn. Die Idee dahinter ist, dass irgendwann der Lauf kommt und man die mehreren Billiarden €, die man bereits gesetzt hat, vervielfacht zurück bekommt.

Indes wäre kein Mensch bereit hier viel mehr als 1 € einzusetzten, aus folgenden Gründen...

Lösungsvorschläge

Die Auseinandersetzung mit dem St. Petersburg Paradoxon bringt ein besseres Verständnis vieler Fragen in der Wirtschafts- und Entscheidungstheorie mit sich.

Bernoulli, auf den dieses Paradoxon zurück geht, leitete daraus den sinkenden Grenznutzen von Geld ab. Zum Beispiel, stiften Ihnen 9 Billiarden € keinen signifikant höheren Nutzen als 900 Billionen €, obwohl es zehn mal so viel Geld ist. Daraus folgt, dass es eine 1:900.000.000.000 Wahrscheinlichkeit einfach nicht wert ist, einen größeren Betrag darauf zu setzen.

Eine Möglichkeit, den Einsatz doch attraktiv zu machen, ist, wenn man den Gewinn verändert, nämlich so, dass sich der Nutzen mit jedem Wurf verdoppelt (z.B. viel Geld, Schönheit, langes Leben, Gesundheit, Weisheit, ... mit der Annahme, dass jeder weitere Gewinn doppelt so nützlich ist, wie der davor). In dem Fall, wäre es sinnig, so viel wie möglich zu bieten, um am Spiel teilzunehmen. Dies unterstellt jedoch, dass der Nutzen immer steigerbar ist, d.h. dass es immer einen Gewinn gibt, der den bereits erreichten Nutzen noch verdoppeln kann.

Außerdem wird hier folgendes nicht beachtet:

• kein Mensch hat so viel Geld und Zeit, um das Spiel langfristig zu spielen.
• Risikoaversion
• Die nicht vollständige Rationalität der menschlichen Entscheidung (wir sind eben keine perfekten homines oeconomici)

Dieser Artikel orientiert sich sehr stark an der englischen Erklärung in der dortigen Wikipedia. Die Argumentation ist jedoch auf jeden Fall richtig.

Externer Link

Eine sehr ausführliche Behandlung auf Englisch finden Sie hier:

• St Petersburg Paradox - Stanford Encyclopaedia of Philosophy