Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl a teilt eine Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Man sagt dann auch "a ist Teiler von b", "b ist teilbar durch a" und schreibt formal a | b.

Zum Beispiel gilt also 3 | 6, -2 | 8, 1 | -17 und 5 | 0.
Weiterhin gilt: 0 | 0 ( gefordert ist, dass es mindestens eine ganze Zahl n gibt mit 0·n = 0; die Zahl 4711 erfüllt z.B. diese Forderung ).
Kleinste Zahl bezüglich Teilbarkeit ist die 1 : Jede Zahl wird von 1 geteilt.
Größte Zahl bezüglich Teilbarkeit ist die 0 : 0 wird von jeder Zahl geteilt.

Die natürlichen Zahlen mit dieser Teilbarkeitsrelation sind eine teilgeordnete Menge, sogar ein distributiver Verband.

Teilbarkeitsregeln

Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen gibt es eine Reihe von Teilbarkeitsregeln. Sie basieren stets auf der üblichen Darstellung der Zahlen im Zehnersystem.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0,2,4,6 oder 8).
Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
Für die Teilbarkeit durch 7 und 13 sind im Artikel Quersumme Regeln angegeben, die mit gewichteten Quersummen arbeiten.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung

Diesen Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Ist R ein kommutativer Ring und sind a, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a*n = b.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a | b ⇔ (a) ⊃ (b).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊃ (2), also ist 2 | 4.

Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen Ringen, die eine neutrales Element 1 enhalten und nullteilerfrei sind, diese Ringe heißen Integritätsringe.

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen, macht es keinen Sinn, Teilbarkeit zu definieren, da dort jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) durch jede andere Zahl außer 0 teilbar ist.

siehe auch: