Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume.

Formulierung

Sei S ein Maßraum, $1\leq p,q\leq \infty$ mit ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ , sei $f$ aus $L^{p}(S)$ und $g$ aus $L^{q}(S)$ . Dann ist $fg$ aus $L^{1}(S)$ und

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}

.

Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponent.

Beweis

Da die Aussage für $p=1,q=\infty$ (und umgekehrt) trivial ist, sei $1<p,q<\infty$ . Ohne Einschränkung seien $\|f\|_{p}>0$ und $\|g\|_{q}>0$ . Nach der youngschen Ungleichung gilt

AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}

für alle $A,B\geq 0$ . Setze hierin speziell $A:={\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}},B:={\frac {|g(x)|}{\|g\|_{q}}}$ ein. Integration liefert

{\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{S}|fg|\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,

welches die höldersche Ungleichung impliziert.

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Spezialfälle

Sei $S$ die Menge $\{1,\ldots ,n\}$ , ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q},

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}$ . Ist $S$ die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für $p=q=2$ erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Verallgemeinerung

Es seien $p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m$ sowie ${\frac {1}{r}}:=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{p_{j}}}$ und $f_{j}\in L_{p_{j}}(S)$ für alle $j=1,\ldots ,m$ . Dann folgt $\prod _{j=1}^{m}f_{j}\in L_{r}(S)$ , und es gilt die Abschätzung

\|\prod _{j=1}^{m}f_{j}\|_{r}\leq \prod _{j=1}^{m}\|f_{j}\|_{p_{j}}.

Beweis

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über $m$ geführt. $m=1$ ist trivial, und $m=2$ ist die (übliche) höldersche Ungleichung. Sei also nun $m\geq 3$ und ohne Einschränkung $p_{1}\leq \cdots \leq p_{m}$ . Es sind drei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_{1}=\cdots =p_{m}=\infty .$ Dann ist auch $r=\infty$ und die Aussage trivial.

Fall 2: $p_{1}<\infty ,p_{m}=\infty .$ Dann ist $r<\infty$ und ${\frac {1}{r}}=\sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

(\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m}|^{r})^{\frac {1}{r}}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.

Fall 3: $p_{m}<\infty$ . Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten ${\frac {p_{m}}{p_{m}-r}},{\frac {p_{m}}{r}}$ gilt

\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{r}|f_{m}|^{r}\leq (\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}})^{\frac {p_{m}-r}{p_{m}}}(\int _{S}|f_{m}|^{p_{m}})^{\frac {r}{p_{m}}},

also $\|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\|f_{m}\|_{p_{m}}$ . Nun ist $\sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{m}}}={\frac {p_{m}-r}{rp_{m}}}$ . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

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Anwendungen

Die höldersche Ungleichung wird beispielsweise für einen Beweis der Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L^{p}$ ) angewandt.

Seien $f\in L_{p}(S)\cap L_{q}(S)$ und $1\leq q\leq r\leq p$ . Dann folgt $f\in L_{r}(S)$ , und es gilt die Interpolationsungleichung

\|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{1-\theta }\|f\|_{q}^{\theta }

mit

{\frac {1}{r}}=:{\frac {1-\theta }{p}}+{\frac {\theta }{q}}.

Beweis: Ohne Einschränkung sei $q<r<p$ . Fixiere $\vartheta \in (0,1)$ mit $r=\vartheta p+(1-\vartheta )q$ . Beachte, dass ${\frac {1}{\vartheta }}$ und ${\frac {1}{1-\vartheta }}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt