Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B bereits vorher eingetreten ist. Es wird geschrieben als $P(A|B)$, der senkrechte Strich ist als "unter der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn man das Ereignis B voraussetzt, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A $P(A|B)$, es handelt sich also nicht um eine (logische) Bedingung für A.

Zwei Variablen

Wenn A und B abhängige Ereignisse sind, und P(B) > 0 ist, dann gilt

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Es ist

$P(A\cap B)$

die Verbundwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam auftreten. Die Verbundwahrscheinlichkeit wird teilweise auch einfach P(A,B) geschrieben. Es gilt durch Umformen natürlich auch:

$P(A\cap B)={P(A|B)}{P(B)}$

Wenn A und B jedoch unabhängig sind, dann gilt

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow P(A|B)=P(A)$

n Variablen

Man betrachte dazu den multivariaten Fall mit mehr als zwei Zufallsereignissen:

$P(X_{1};X_{2};...;X_{n})$

Verallgemeinert man den obigen Ausdruck für zwei Variablen erhält man den allgemeinen Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten:

$P(X_{1};X_{2};...;X_{n})=P(X_{1})P(X_{2}|X_{1})P(X_{3}|X_{2};X_{1})...P(X_{n}|X_{n-1};...;X_{1})=P(X_{1}){\frac {P(X1;X2)}{P(X_{1})}}...{\frac {P(X_{n};...;X_{1})}{P(X_{n-1};...;P(X_{1}))}}$

Besonders anschaulich ist hier das Rechnen mit einem Entscheidungsbaum, da hier das Diagramm gleichsam "mitrechnet": die Daten sind leicht einzusetzen, und man wird sequentiell an den richtigen Rechengang heran geführt.

Beispiele findet man im Artikel Bayes-Theorem.

Siehe auch

Fehler 1. Art,Fehler 2. Art, Absolute Häufigkeit,Irrtumswahrscheinlichkeit, Verbundentropie, Kausalbeziehung, Schnittmenge, DNA-Test, Zahlenanalphabetismus, Sensitivität, Falsch positiv, Positiver prädiktiver Wert, Bayessches Netzwerk, Bayes-Filter

Weblinks

• http://finance2.bwl.univie.ac.at/teaching/artikel/bayes.htm
• http://www.sencer.de/index.php?p=9&more=1
• Bei den Wikibooks findet sich ebenfalls eine verständliche Erläuterung der Bedingten Wahrscheinlichkeit
• http://www.fernuni-hagen.de/www2bonsai/WTHEORIE/ds/node6.html