Fehlerfortpflanzung

Bei vielen Messaufgaben ist eine Größe nicht direkt messbar, sondern sie ist aus mehreren messbaren Größen nach einer festgelegten mathematischen Beziehung zu bestimmen. Da jeder Messwert der einzelnen Größen von seinem richtigen Wert abweicht, wird auch das Ergebnis der Rechnung von seinem richtigen Wert abweichen. Die Einzelfehler werden mit der Formel übertragen. Man nennt dieses Fehlerfortpflanzung. Für die Fehlerfortpflanzung existieren Rechenregeln, mit denen die Abweichung des Ergebnisses bestimmt oder abgeschätzt werden kann.

Aufgabe

• Häufig will man ein Ergebnis $y$ aus einer Größe $x$ oder im allgemeinen Fall aus mehreren Größen $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\cdots$ berechnen. Mit fehlerbehafteter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch berechnet. Nach groben Fehlern muss man neu rechnen. Sonst ist es eher angebracht, nur die Auswirkung des Fehlers bzw. der Fehler auf das Ergebnis zu bestimmen.
• Mathematisch gesagt: Hat man eine Funktion $y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \cdots \ )$ mit mehreren unabhängigen Variablen $x_{i}$ , die um ein kleines $\Delta x_{i}$ falsch sind, so wird auch das Ergebnis $y$ falsch um ein kleines $\Delta y$. Dieses $\Delta y$ sollte man berechnen können.
• Messtechnisch gesagt: Hat man ein Messergebnis aus Messwerten verschiedener Größen auszurechnen, wobei diese Messwerte von ihren richtigen Werten abweichen, so wird man ein Ergebnis berechnen, das entsprechend auch vom richtigen Ergebnis abweicht. Die Größe der Abweichung im Messergebnis sollte man abschätzen können.

Möglichkeiten - Einschränkungen

Systematische Fehler

Systematische Fehler sind im Prinzip bestimmbar, sie haben einen Betrag und ein Vorzeichen.

Beispiel: Man will die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung berechnen und dazu den Strom durch den Verbraucher messen. Dazu schaltet man einen Strommesser in die Leitung. An dem Messgerät fällt aber eine Spannung ab; dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung; dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher der Strom auch kleiner; man misst etwas zu wenig (negativer Fehler, der sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messgeräte-Innenwiderstand ausrechnen lässt). Die aus Speisespannung und gemessenem Strom berechnete Leistung, wird damit auch zu niedrig angegeben.

Bei systematischen Fehlern der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln der systematische Fehler der Ausgangsgröße berechnen.

Messgerätefehler

Ferner kann man nicht davon ausgehen, dass die vom Messgerät erfasste Größe richtig angezeigt wird. In seltenen Fällen kennt man anhand einer Fehlerkurve zu dem Messwert den zugehörigen systematischen Fehler. Im Allgemeinen kennt man von einem Messgerätefehler nur dessen Grenzwert, die Fehlergrenze.

Beispiel: Kann man den Strom im obigen Beispiel nur mit einer Fehlergrenze von 4 % bestimmen, kann die Fehlergrenze der Leistung nicht niedriger sein.

Bei Fehlergrenzen der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Fehlergrenze der Ausgangsgröße berechnen.

Zufällige Fehler

Soweit bisher behandelt, hat man mehrere Eingangsgrößen (unabhängige Variable, Messgrößen) und davon jeweils nur einen Wert. Anders ist es bei zufälligen Fehlern, die man erkennt, wenn von einer Eingangsgröße mehrere Werte vorliegen – gewonnen durch wiederholte Bestimmung (Messung) unter konstanten Bedingungen. Die Abschätzung zufälliger Fehler führt auf eine Komponente der Messunsicherheit. Ihre Bestimmung ist ein Ziel der Fehlerrechnung.

Bei Unsicherheiten der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Unsicherheit der Ausgangsgröße berechnen.

Bei Messgerätefehlern kann man gemäß DIN 1319 davon ausgehen, dass der Betrag des zufälligen Fehlers wesentlich kleiner ist als die Fehlergrenze (anderenfalls ist auch der zufällige Fehler bei der Festlegung der Fehlergrenze zu berücksichtigen). Bei voneinander unabhängigen Messwerten, deren Qualität von den Fehlergrenzen der Messgeräte bestimmt wird, ist die Untersuchung zufälliger Fehler dann aber nicht sinnvoll.

Fehler des mathematischen Modells

Die zu berechnende Größe muss durch die Formel korrekt beschrieben werden. Um leicht rechnen zu können, oder mangels vollständiger Kenntnis weicht man aber oft auf Näherungen aus.

Beispiel: Die Speisespannung im obigen Beispiel wird als bekannt angenommen, wie das bei Bezug aus einer Konstantspannungsquelle zulässig ist. Falls die Quelle aber belastungsabhängig ist, ist ihre Kenngröße Leerlaufspannung nicht mehr die Speisespannung; es entsteht ein weiterer Fehler.

Fehler der Ausgangsgröße aufgrund fehlerhafter mathematischer Beschreibung der Zusammenhänge mit den Eingangsgrößen lassen sich mit Fehlerfortpflanzungs-Regeln nicht berechnen.

Regeln zur Fehlerfortpflanzung

Fehler

Eine fehlerbehaftete Größe

Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße $x$ auf das Ergebnis $y$ kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden:

$y=y(x)\quad \Rightarrow \quad y(x+\Delta x)=y(x)+{\frac {1}{1!}}\ {\frac {dy(x)}{dx}}\cdot \Delta x+{\frac {1}{2!}}\ {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}\cdot (\Delta x)^{2}+\cdots \$ .

Bei genügend kleinem $|\Delta x|$ kann man die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abbrechen, und man erhält dann die Näherungslösung

$y(x+\Delta x)-y(x)=\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x\;.$

Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung, wenn man die $\Delta$-Werte als absolute Fehler ansieht.

• Anwendung bei Proportionalität

$y=c\cdot x\quad \ \Rightarrow \quad \Delta y=c\cdot \Delta x\quad ;\quad {\frac {\Delta y}{y}}={\frac {\Delta x}{x}}$

Für die Ausgangsgröße $y$ enthält deren absoluter Fehler $\Delta y$ die spezielle Proportionalitätskonstante $c$. Besser rechnet man mit dem relativen Fehler $\Delta y/y$, der unabhängig von $c$ ist und stets genauso groß wie der relative Fehler $\Delta x/x$ der Eingangsgröße $x$.

• Anwendung bei umgekehrter Proportionalität (Kehrwertbildung)

$y={\frac {c}{x}}\quad \quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta y}{y}}=-\;{\frac {\Delta x}{x}}$

Die Ausgangsgröße hat denselben Betrag des relativen Fehlers wie die Eingangsgröße, aber entgegengesetztes Vorzeichen.

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen verwendet man den entsprechenden mathematischen Ansatz mit der Reihenentwicklung bis zum linearen Glied als Näherungslösung für kleine $\left|\Delta x_{i}\right|$:

$y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \dots \ )\quad \Rightarrow \quad \Delta y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots \$

$\Delta y\$ : Gesamtfehler $F_{y}$ des Ergebnisses $y$

$\Delta x_{i}\$ : Fehler $F_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$

${\frac {\Delta x_{i}}{x_{i}}}$: relativer Fehler $f_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$

${\frac {\Delta y}{y}}$ : relativer Fehler $f_{y}$ des Ergebnisses $y$

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten:

*	Bei Addition	$y=x_{1}+x_{2}\quad \quad F_{y}=F_{1}+F_{2}$
*	Bei Subtraktion	$y=x_{1}-x_{2}\quad \quad F_{y}=F_{1}-F_{2}$
*	Bei Multiplikation	$y=x_{1}\cdot x_{2}\quad \quad \ \ f_{y}=f_{1}+f_{2}$
*	Bei Division	$y=x_{1}:x_{2}\quad \quad \ \ f_{y}=f_{1}-f_{2}$

Die Fehler können sich ergänzen oder mehr oder weniger aufheben.

Beispiel: Wenn $x_{1}$ um 2 % zu groß und $x_{2}$ um 3 % zu groß sind:

Dann wird bei der Multiplikation $y$ um 5 % zu groß.

Dann wird bei der Division $y$ um 1 % zu klein.

Fehlergrenzen

Kennt man nicht die Fehler selber, sondern nur ihre Grenzen, so lässt sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn man die $\Delta$-Werte als Fehlergrenzen ansieht. Diese sind vorzeichenlos bzw. als Betrag definiert. Für das Ergebnis lässt sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu muss man mit der ungünstigsten Vorzeichenkombination rechnen und Beträge addieren.

$\Delta y=\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right|\cdot \Delta x_{1}+\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right|\cdot \Delta x_{2}+\cdots \$

$\Delta y\$ : Gesamtfehlergrenze $G_{y}$ des Ergebnisses $y$

$\Delta x_{i}\$ : Fehlergrenze $G_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$

${\frac {\Delta x_{i}}{\left|x_{i}\right|}}$: relative Fehlergrenze $g_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$

${\frac {\Delta y}{\left|y\right|}}$ : relative Fehlergrenze $g_{y}$ des Ergebnisses $y$

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten:

*	Bei Addition und Subtraktion		$G_{y}=G_{1}+G_{2}\$
*	Bei Multiplikation und Division		$g_{y}\ =g_{1}+g_{2}$

Beispiel: Wenn $x_{1}$ um bis 2 % zu groß oder zu klein und $x_{2}$ um bis 3 % zu groß oder zu klein sein können:

Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division $y$ um bis 5 % zu groß oder zu klein sein.

Messunsicherheiten

Eine fehlerbehaftete Größe

Hat man von der Größe $x$ mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte $v_{i}\$ mit $i=1...N$ , so bekommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes ${\bar {v}}$:

${\bar {v}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{v_{i}}$

Ein Maß für Breite der Streuung der Einzelwerte ist die Standardabweichung $s$, die über die quadrierten Abweichungen der Einzelwerte vom Mittelwert berechnet wird:

$s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}{(v_{i}-{\bar {v}})^{2}}}}$

Ohne systematische Fehler strebt der Mittelwert für große $N$ gegen den richtigen Wert; anschaulich sind hier näherungsweise die quadrierten zufälligen Fehler addiert worden.

Durch eine endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Fehlern. Ein Maß für die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit $u$:

$u=t\cdot {\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot s$

Diese wird umso kleiner, je größer $N$ wird. Der Faktor $t$ berücksichtigt die gewünschte statistische Sicherheit und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer kleinen Zahl $N$ die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. In der Technik wird vielfach ein Vertrauensniveau von 95 % verwendet, das aussagt, dass der Mittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Bereich ${\bar {v}}-u\ \cdots \ {\bar {v}}+u$ liegt. Für dieses Vertrauensniveau und für $N$ > 30 ist $t$ = 2,0.

Verwendet man in einer Rechnung zur Fehlerfortpflanzung als Eingangsgröße $x$ den Mittelwert ${\bar {v}}$, so wirkt sich dessen Unsicherheit $u$ oder $u_{x}$ auf die Unsicherheit $u_{y}$ des Ergebnisses $y$ aus. Bei genügend kleinem $u_{x}$ kann dieser Wert für die Fehlerfortpflanzung als $\Delta x$ in die lineare Näherung der Taylorreihe eingesetzt werden. Dabei muss man beachten, dass Unsicherheiten als Beträge definiert sind.

$\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x\qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad u_{y}=\left|{\frac {dy}{dx}}\right|\cdot u_{x}$

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen $x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \cdots \$ seien die Mittelwerte jeweils mit einer Unsicherheit $u_{1}\,,\ u_{2}\,,\ \cdots \$ bestimmt worden. Das Ergebnis $y$ wird aus den Mittelwerten berechnet. Zur Berechnung seiner Unsicherheit $u_{y}$ beginnt man wieder mit der linearen Näherung bei mehreren unabhängigen Variablen; allerdings muss man – wie bei der Berechnung der Standardabweichung – die quadrierten Beiträge der Einzel-Unsicherheiten einsetzen.

$\Delta y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots \quad \Rightarrow \quad {u_{y}}={\sqrt {\left({\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot u_{1}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot u_{2}\right)^{2}+\cdots }}$

Siehe auch

• Intervallarithmetik