Isolierte Singularität

Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik eine Stelle, an der ein mathematisches Objekt, z. B. eine holomorphe Funktion, ein ungewöhnliches Verhalten zeigt. An diesen Stellen kommt man mit den normalen Methoden nicht weiter. Singularitäten treten im Reellen sowie im Komplexen auf. Die erste Kategorisierung von Singularitäten findet man in der Funktionentheorie, dort sind es immer isolierte Singularitäten. Im Mehrdimensionalen brauchen Singularitäten nicht mehr isoliert zu sein.

Singularitäten komplexer Funktionen

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge, $z_{0}\in \Omega$ , ferner sei $f$ eine auf $\Omega \setminus \{z_{0}\}$ holomorphe komplexwertige Funktion, also $f:\Omega \setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ (das heißt, $z_{0}$ ist ein isolierter Punkt).

Dann heißt $z_{0}$ isolierte Singularität von f.

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:

$z_{0}$ heißt hebbare Singularität, wenn $f$ auf $\Omega$ holomorph fortsetzbar ist. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist dies z.B. dann der Fall, wenn $f$ in einer Umgebung von $z_{0}$ beschränkt ist.
$z_{0}$ heißt Polstelle oder Pol, wenn $z_{0}$ keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl $k$ gibt, so dass $(z-z_{0})^{k}\cdot f(z)$ eine unwesentliche Singularität bei $z_{0}$ hat. Ist das $k$ minimal gewählt, dann sagt man, $f$ habe in $z_{0}$ einen Pol $k$ -ter Ordnung.
Andernfalls heißt $z_{0}$ eine wesentliche Singularität von $f$ .

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularität zusammengefasst.

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

von $f$ in $z_{0}$ ablesen:

Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d.h. $a_{n}=0$ für alle negativen ganzen Zahlen $n$ .
Ein Pol $k$ -ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach $k$ Gliedern abbricht, d.h. $a_{n}=0$ für alle $n<-k$ .
Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große Satz von Picard und als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstrass.

Beispiele

Es sei $\Omega =\mathbb {C}$ und $z_{0}=0.$

$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,z\mapsto z+3$ kann durch $f(0)=3$ stetig auf $\Omega$ fortgesetzt werden, also hat $f$ bei 0 eine hebbare Singularität.
$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,z\mapsto {\frac {1}{z}}$ hat bei $0$ einen Pol 1. Ordnung, weil $g(z)=z^{1}\cdot f(z)$ durch $g(0)=1$ stetig auf $\Omega$ fortgesetzt werden kann.
$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität, weil $x^{k}\exp \left({\frac {1}{x}}\right)$ für $x\searrow 0$ für festes $k\in \mathbb {N}$ stets unbeschränkt ist bzw. weil in der Laurentreihe um $z_{0}$ unendlich viele Glieder nicht verschwinden, denn es gilt $f|_{\Omega }(z)=\sum \limits _{n=0}^{-\infty }{\frac {z^{n}}{(-n)!}}$ .

Singularitäten algebraischer Varietäten

Ein Punkt $x$ einer algebraischen Varietät oder allgemeiner eines Schemas heißt singulär oder eine Singularität, wenn der zugehörige lokale Ring nicht regulär ist. Für abgeschlossene Punkte algebraischer Varietäten ist dies äquivalent dazu, dass die Dimension des Zariski-Tangentialraumes größer als die Dimension der Varietät ist.

Andere Singularitäten