Modul (Mathematik)

Links- oder Rechts-Modul

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings

umfasst als Spezialfälle

Ring (Modul über sich selbst) kommutativer Modul Vektorraum

Ein Modul (maskulinum, auf der ersten Silbe betont; Plural: Moduln) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums ist.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring $(R,+,\cdot )$ mit Einselement ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einer Abbildung

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m$ („Skalarmultiplikation“),

so dass gilt:

$r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m$

$(r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m$

$r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2}$

Fordert man zusätzlich noch $1\cdot m=m$, so nennt man den Modul unitär.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Beispiele

1. Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer $\mathbb {Z}$-Modul: Wegen

$1\cdot m=m$

ist

$k\cdot m=m+\ldots +m$ und $(-k)\cdot m=-(m+\ldots +m)$

für natürliche Zahlen $k$ (hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).

2. $k[T]$-Moduln für einen Körper $k$ sind Paare $(V,A)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Endomorphismus $A$ von $V$:

• Zu einem $k[T]$-Modul $V$ betrachten wir das Paar $(V,A)$, bei dem $A$ durch

$V\to V,\quad v\mapsto T\cdot v.$

gegeben ist.

• Zu einem Paar $(V,A)$ definieren wir eine $k[T]$-Modulstruktur durch

$p(T)\cdot v:=p(A)v=a_{0}v+a_{1}\cdot Av+a_{2}\cdot A^{2}v+\ldots +a_{n}\cdot A^{n}v$

für $p(T)=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\ldots +a_{n}T^{n}\in k[T].$

3. Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation.

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei $R$ ein Ring.

Ein $R$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $\mathbb {Z}$-bilinearen Abbildung

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m=rm,$

d.h.

$(r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m$ und $r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},$

so dass

$r_{1}(r_{2}m)=(r_{1}r_{2})m$ für alle $r_{1},r_{2}\in R,m\in M$

gilt. Wird $R$ als unitär angenommen, so fordert man meist auch, dass $M$ ein unitärer Modul ist, d.h.

$1\cdot m=m.$

Ein $R$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $\mathbb {Z}$-bilinearen Abbildung

$M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,$

so dass

$(mr_{1})r_{2}=m(r_{1}r_{2})$ für alle $r_{1},r_{2}\in R,m\in M.$

Unitäre Rechtsmoduln sind analog zu unitären Linksmoduln definiert.

Ist $R$ kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von $R$-Moduln.

Alternative Definitionen

• Ein $R$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M.$

Dabei ist $\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M$ der Ring der Endomorphismen von $M$ mit der Verknüpfung als Produkt:

$(f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M,m\in M.$

• Ein $R$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} };$

Dabei sei $(\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} }$ der Ring der Endomorphismen von $M$ mit der Rechtsverknüpfung als Produkt:

$(f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{2}(f_{1}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} },m\in M.$

Bimoduln

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Dann ist ein $R$-$S$-Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $R$-Linksmodul- und einer $S$-Rechtsmodulstruktur, so dass

$(rm)s=r(ms)$ für $r\in R,s\in S,m\in M$

gilt.

Alternativ ist ein $R$-$S$-Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus

$R\times S^{\mathrm {op} }\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M.$

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine assoziative R-Algebra, so ist ein $A$-Linksmodul ein $R$-Modul $M$ zusammen mit einem $R$-Modulhomomorphismus

$A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

so dass

$a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m$ für $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Ein $A$-Rechtsmodul ist ein $R$-Modul $M$ zusammen mit einem $R$-Modulhomomorphismus

$M\otimes _{R}A\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

so dass

$(ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})$ für $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Liealgebra

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine Liealgebra über einem Körper $k$. Ein ${\mathfrak {g}}$-Modul oder eine Darstellung von ${\mathfrak {g}}$ ist ein $k$-Vektorraum $M$ zusammen mit einer $k$-bilinearen Abbildung

${\mathfrak {g}}\times M\to M,\quad (X,m)\mapsto X\cdot m=Xm,$

so dass

$[X,Y]m=XYm-YXm$ für $X,Y\in {\mathfrak {g}},m\in M$

gilt.

Alternativ ist ein ${\mathfrak {g}}$-Modul ein $k$-Vektorraum $M$ zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über $k$

${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M);$

dabei ist ${\mathfrak {gl}}(M)$ die $k$-Algebra der Endomorphismen von $M$ mit dem Kommutator als Lieklammer.

${\mathfrak {g}}$-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von ${\mathfrak {g}}$.

Moduln über einer Gruppe

Es sei $(G,\cdot )$ eine Gruppe. Ein $G$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einer Abbildung

$G\times M\to M,(g,m)\mapsto gm:=g\cdot m$,

so dass

$g(m_{1}+m_{2})=gm_{1}+gm_{2}$ für $g\in G,m_{1},m_{2}\in M$

und

$(g_{1}g_{2})m=g_{1}(g_{2}m)$ für $g_{1},g_{2}\in G,m\in M$

gilt.

Ein $G$-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

$m(g_{1}g_{2})=(mg_{1})g_{2}$ für $g_{1},g_{2}\in G,m\in M$

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein $G$-Linksmodul eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M;$

dabei ist $\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M=(\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\times }$ die Gruppe der Automorphismen von $M$ mit der Verknüpfung

$(f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M,m\in M.$

Ein $G$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} };$

das Produkt auf $(\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} }$ ist durch

$(f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{2}(f_{1}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} },m\in M$

gegeben.

Ist $R$ weiter ein Ring, so ist ein $G$-$R$-Modul eine abelsche Gruppe mit einer $R$-Modul- und einer $G$-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

$r(gm)=g(rm)$ für $r\in R,g\in G,m\in M.$

Alternativ ist ein $G$-$R$-Modul ein $R$-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to \mathrm {Aut} _{R}\,M;$

dabei ist Aut_R $M$ die Gruppe der Automorphismen von $M$ als $R$-Modul.

$G$-$R$-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring $R[G]$.

Ist $k$ speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des $G$-$k$-Moduls mit dem der $k$-linearen Darstellung von $G$ überein.