Achilles und die Schildkröte

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte oder auch Stadionparadoxon wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals überholen könne, wenn er ihr einen Weg-Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er ihren Weg-Vorsprung eingeholt haben. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Weg-Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Weg-Vorsprung, den die Schildkröte zu jedem Zeitpunkt hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Weg-Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähern, sie aber niemals überholen könne.

Dazu Folgendes:

1. Man kann nicht von einem Wettlauf sprechen, weil Zenon einfach keine bestimmte Ziellinie (Zielpunkt) angibt, es ist somit nur ein Nachlaufen, das er beschreibt.

2. Die logische Schlussfolgerung am Ende seiner Beschreibung stützt sich auf eine Beschreibung, die nicht einmal Näherungsweise mit einer tatsächlichen – für uns erfahrbaren - Bewegung eines Zweibeiners übereinstimmt, weil dieser gleichzeitig an verschiedenen Orten während des Laufens sein kann (die Zehenspitze des linken Beines und die des rechten sind an verschiedenen Orten bzw. haben verschiedene Abstände von der Startlinie). Insofern kann nichts Paradoxes am so genannten Paradoxon sein.

3. Dieses „Paradoxon“ ist nur eine Variante des Teilungsparadoxons, denn in beiden ist der Grundgedanke derselbe: Um von A nach B zu kommen, muss man zu erst an einen Punkt C zwischen A und B kommen. Es kann somit mit denselben Argumenten - wie dort - widerlegt werden. Ein Punkt zwischen A und B setzt die Existenz von B voraus, B gibt es aber erst, wenn Achilles tatsächlich dort hinkommt, bis dorthin gelaufen ist.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon.