sinh , cosh and tanh
csch , sech and coth
Zu den Hyperbelfunktionen gehören:
Sie sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph .
Definition
Datei:Funhipgeom.png Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle (\cosh {\mbox{ }}a,\sinh {\mbox{ }}a)}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
sinh
(
z
)
:=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh(z):={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
cosh
(
z
)
:=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh(z):={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel
Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Funktionen eine Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
Dabei ist sinh(a) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(a) die dazugehörige x-Koordinate wenn die Hyperbel und die Geraden die Fläche a einschließen. tanh(a) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1.
Berechnet man die Fläche durch Integration , erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.
Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen
Datei:Cosh sinh.png Graph der reellen Hyperbelfunktionen Für alle reelle Zahlen
r
{\displaystyle r}
sinh
(
r
)
{\displaystyle \sinh(r)}
cosh
(
r
)
{\displaystyle \cosh(r)}
Die reelle Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
Die reelle Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
<
0
{\displaystyle <0}
für Werte
>
0
{\displaystyle >0}
Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen
sinh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
|
−
π
/
2
<
Im
z
<
π
/
2
}
{\displaystyle A:=\{z\,\vert -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}}
B
:=
{
z
|
Re
z
≠
0
∨
Im
z
=
±
1
}
{\displaystyle B:=\{z\,\vert \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee \operatorname {Im} \,z=\pm 1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
bijektiv auf B ab.
cosh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
|
0
<
Im
z
<
π
}
{\displaystyle A:=\{z\,\vert 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}}
B
:=
{
z
|
Im
z
≠
0
∨
Re
z
=
±
1
}
{\displaystyle B:=\{z\,\vert \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee \operatorname {Re} \,z=\pm 1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
bijektiv auf B ab.
Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen
Für alle komplexen Zahlen
z
{\displaystyle z}
sinh
(
z
)
=
−
sinh
(
−
z
)
{\displaystyle \sinh(z)=-\sinh(-z)}
cosh
(
z
)
=
cosh
(
−
z
)
{\displaystyle \cosh(z)=\cosh(-z)}
Es liegt keine Periodizität vor.
Additionstheoreme
Für alle komplexen Zahlen
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
sinh
(
z
1
+
z
2
)
=
sinh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
+
sinh
(
z
2
)
⋅
cosh
(
z
1
)
{\displaystyle \sinh(z_{1}+z_{2})=\sinh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})+\sinh(z_{2})\cdot \cosh(z_{1})}
sinh
(
z
1
−
z
2
)
=
sinh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
−
sinh
(
z
2
)
⋅
cosh
(
z
1
)
{\displaystyle \sinh(z_{1}-z_{2})=\sinh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})-\sinh(z_{2})\cdot \cosh(z_{1})}
cosh
(
z
1
+
z
2
)
=
cosh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
+
sinh
(
z
1
)
⋅
sinh
(
z
2
)
{\displaystyle \cosh(z_{1}+z_{2})=\cosh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})+\sinh(z_{1})\cdot \sinh(z_{2})}
cosh
(
z
1
−
z
2
)
=
cosh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
−
sinh
(
z
1
)
⋅
sinh
(
z
2
)
{\displaystyle \cosh(z_{1}-z_{2})=\cosh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})-\sinh(z_{1})\cdot \sinh(z_{2})}
cosh
2
(
z
)
−
sinh
2
(
z
)
=
1
{\displaystyle \,{\cosh }^{2}(z)-{\sinh }^{2}(z)=1}
Ableitung
Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:
d
d
x
s
i
n
h
(
x
)
=
c
o
s
h
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {sinh}}(x)={\rm {cosh}}(x)}
Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:
d
d
x
c
o
s
h
(
x
)
=
s
i
n
h
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {cosh}}(x)={\rm {sinh}}(x)}
Die Ableitung des Tangens Hyperbolicus lautet:
d
d
x
t
a
n
h
(
x
)
=
s
e
c
h
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {tanh}}(x)={\rm {sech}}^{2}(x)}
Alternative Namen
Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für
sinh
{\displaystyle \sinh }
hsin , Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für
cosh
{\displaystyle \cosh }
hcos , Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.
Abgeleitete Funktionen
Tangens Hyperbolicus
tanh
(
x
)
:=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x):={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}
Kotangens Hyperbolicus
coth
(
x
)
:=
1
tanh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \coth(x):={\frac {1}{\tanh(x)}}={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}
Sekans Hyperbolicus
sech
(
x
)
:=
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x):={\frac {1}{\cosh(x)}}}
Kosekans Hyperbolicus
csch
(
x
)
:=
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x):={\frac {1}{\sinh(x)}}}
Umrechnungstabelle
Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
tanh
{\displaystyle \tanh }
coth
{\displaystyle \coth }
sinh
(
x
)
=
{\displaystyle \sinh(x)=}
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,\sinh(x)\,}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}
tanh
(
x
)
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
cosh
(
x
)
=
{\displaystyle \cosh(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\cosh(x)}
1
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
|
coth
(
x
)
|
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
tanh
(
x
)
=
{\displaystyle \tanh(x)=}
sinh
(
x
)
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,\tanh(x)}
1
coth
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\coth(x)}}}
coth
(
x
)
=
{\displaystyle \coth(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\tanh(x)}}}
coth
(
x
)
{\displaystyle \,\coth(x)}
sech
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}
1
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\cosh(x)}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}
coth
2
(
x
)
−
1
|
coth
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}{\left|\coth(x)\right|}}}
csch
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}{\tanh(x)}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}
Funktion
sech
{\displaystyle \operatorname {sech} }
csch
{\displaystyle \operatorname {csch} }
sinh
(
x
)
=
{\displaystyle \sinh(x)=}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
sech
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
csch
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}}
cosh
(
x
)
=
{\displaystyle \cosh(x)=}
1
sech
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
+
csch
2
(
x
)
|
csch
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}}
tanh
(
x
)
=
{\displaystyle \tanh(x)=}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
coth
(
x
)
=
{\displaystyle \coth(x)=}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}
sech
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}
sech
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sech} (x)}
|
csch
(
x
)
|
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}
sgn
(
x
)
sech
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {csch} (x)}
Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen .
Siehe auch:
Zusammenhang mit den Kreisfunktionen
Vorlage:Navigationsleiste Hyperbolische Funktionen
