Affiner Unterraum

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein abstrakter affiner Raum im Sinne der linearen Algebra.

Definition

Eine Teilmenge $X$ eines Vektorraums $V$ heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor $v$ aus $V$ und einen Untervektorraum $U$ von $V$ gibt, so dass

$X=v+U=\{v+u|u\in U\}$

gilt.

In diesem Fall heißt $v$ auch Stützvektor. Die Dimension von $X$ ist die Dimension von $U$.

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt Ebene.

Eigenschaften

Da auch $v=0$ gewählt werden kann, ist jeder Untervekorraum gleichzeitig affiner Unterraum, ein affiner Unterraum muss jedoch nicht notwendigerweise die Null enthalten.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in $n$ Variablen über dem Körper $K$ ist ein affiner Unterraum von $K^{n}$. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektorren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.