Adjunkte

Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren.

$\operatorname {adj} (A)={\tilde {A}}^{T}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{21}&\cdots &{\tilde {a}}_{n1}\\{\tilde {a}}_{12}&{\tilde {a}}_{22}&&{\tilde {a}}_{n2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&{\tilde {a}}_{2n}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}$

Man sollte hierbei beachten, dass dem Indexpaar $(i,j)$ der Cofaktor ${\tilde {a}}_{ji}$ zugeordnet wird. Die Cofaktoren ${\tilde {a}}_{ji}$ berechnen sich zu

${\tilde {a}}_{ji}=(-1)^{j+i}\cdot M_{ji}=(-1)^{j+i}\cdot {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}$.

Die Minoren $M_{ji}$ sind die Werte der Unterdeterminanten der transponierten Matrix $A$, die durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation alles andere als eindeutig war, ist Vorsicht geboten. Oft wird die selbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte, bei allgemeineren Räumen mithilfe des zugrunde liegenden Skalarproduktes oder Sesquilinearproduktes) verwendet.

Beispiel

Eine beliebige $3\times 3$-Matrix hat die Form

$A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

${\begin{matrix}\operatorname {adj} (A)&=&{\begin{pmatrix}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix}}&-\operatorname {det} {\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix}}&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}}\\-\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b&c\\h&i\end{pmatrix}}&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a&c\\g&i\end{pmatrix}}&-\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a&b\\g&h\end{pmatrix}}\\\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b&c\\e&f\end{pmatrix}}&-\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a&c\\d&f\end{pmatrix}}&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}^{T}\\&=&{\begin{pmatrix}ei-hf&gf-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}}^{T}\\&=&{\begin{pmatrix}ei-hf&ch-bi&bf-ce\\gf-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Berechnung der Inversen einer Matrix

Hauptartikel: Reguläre Matrix

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix $A$ werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems $Ax=e_{j}$ mit dem $j$-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der Cramer’schen Regel, so erhält man die Formel

$A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{\det(A)}}$