Ring (Algebra)

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.

Ein Ring ist eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge R und zwei darauf definierten abgeschlossenen zweistelligen Funktionen, meist bezeichnet als Addition (+) und Multiplikation (•). Bezüglich der Addition ist R eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element 0 genannt wird. Die Multiplikation ist assoziativ. Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz wohldefiniert verküpft, das heißt es gilt

a • (b + c) = a•b + a•c
(a + b) • c = a•c + b•c

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring. Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 bezeichnet (Ring mit 1). Gibt es zudem für alle a in R\{0} ein multiplikatives Inverses, ist a ein Schiefkörper (siehe Körper).