Einheit (Mathematik)

Eine Einheit in einem unitären Ring (Ring mit 1) (R,+,*,0,1) ist jeder Teiler der 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn es also für spezielle a, b ∈ R gilt: a * b = 1, so nennt man a und b Einheiten.

Die Menge der Einheiten R* := { x | ∃ y : x * y = 1 } ist mit der Multiplikation eine Gruppe.

Beispiele

• 1 ist immer eine Einheit (weil 1*1=1).
• 0 ist nie eine Einheit (außer für 1=0, aber dann hat der Ring nur dieses eine Element und ist uninteressant.)
• In einem Körper ist R* = R \ {0}, also außer der 0 jedes Element eine Einheit.
• Im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und -1.

Fragen

• Kann es Unterschiede zwischen Rechtseinheiten und Linkseinheiten geben, wenn der Ring nicht kommutativ ist?