Komplexe Konjugation

Konjugation bei Körpererweiterungen

Komplexe Konjugation

Komplexe Zahl $z=a+bi$ und ihre Konjugierte ${\bar {z}}=a-bi$

Die zur komplexen Zahl $a-i\cdot b$ konjugierte Zahl ist $a+i\cdot b$. Sie hat also denselben Realteil, aber den negativen Imaginärteil. Z.B. ist $2-4i$ die zu $2+4i$ konjugierte Zahl, und die Konjugierte von $-1-i$ ist $-1+i$.

Die Abbildung $a+i\cdot b\mapsto a-i\cdot b$ heißt komplexe Konjugation. Die komplex Konjugierte von $z$ schreibt man meist als ${\bar {z}}$. Die Konjugation ist mit der Addition und Multiplikation verträglich, d.h. es ist egal, ob man erst addiert (multipliziert) und dann konjugiert oder umgekehrt. Mit Hilfe der Konjugation lässt sich leicht eine Formel für die Division komplexer Zahlen angeben: Indem man den Quotienten zweier komplexer Zahlen mit dem Konjugierten des Nenners erweitert, macht man ihn reell:

${\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}={\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(ac+bd)}{c^{2}+d^{2}}}+i{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}$

In Polarkoordinaten ist die Konjugierte der Zahl $z=re^{i\varphi }$ die Zahl ${\bar {z}}=re^{-i\varphi }$. Sie hat also den gleichen Betrag wie $z$ und den negativen Winkel von $z$.

Es gelten folgende Rechenregeln:

• $(a+bi)+(a-bi)=2a$
• $(a+bi)-(a-bi)=2bi$
• $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

Man kann sie ohne Verwendung der Darstellung $a+bi$ auch so formulieren:

• $(z+{\bar {z}})/2=\mathrm {Re} (z)$
• $(z-{\bar {z}})/2i=\mathrm {Im} (z)$
• $z{\bar {z}}=|z|^{2}$

Die komplex Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. In Kombination mit der Transposition der Matrix liefert die komplexe Konjugation die adjungierte Matrix.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen "Konjugierte von a (in L)". Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.

Konjugation bei Gruppen

In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente $a$ und $b$ zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement $c$ gibt, so dass $b=c^{-1}ac$ ist. Die Abbildung

$a\mapsto c^{-1}ac$

heißt Konjugation mit c. Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.

Die Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation:

s.t := f_s(t) := s^-1*t*s.

Die Abbildung T mit T(s) = f_s bildet in die Automorphismengruppe Aut(G) ab. Die Automorphismen f_s mit f_s(t) = s^-1*t*s heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).

Der Kern von T ist

Z(G) = {s in G | s*t = t*s für alle t in G }

Er heißt das Zentrum von G und ist ein Normalteiler. Das Zentrum besteht aus genau den Elementen von G, die mit allen anderen vertauschbar sind; ist die Gruppe abelsch, dann ist offenbar Z(G) = G. Die Abbildung T vermittelt einen Isomorphismus von G/Z(G) nach Inn(G).

Die Fixgruppe G_x = {s in G | s^-1*x*s = x} eines Elementes x heißt Zentralisator von x, die Bahn G.x = {s^-1*x*s | x in G} heißt Konjugationsklasse von x. Elemente in derselben Konjugationsklasse sind zueinander konjugiert.