Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen sind ein Satz von vier Matrizen, die in der Dirac-Gleichung als Koeffizienten auftreten.

„Herleitung“ und Definition

Bei der ursprünglichen Herleitung der Dirac-Gleichung treten vier Koeffizienten $\alpha _{i}$, i=1..3 und $\beta$ auf:

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar }{i}}c\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\psi +\beta mc^{2}\psi$

Aufgrund der Tatsache, dass das „Quadrat“ dieser Gleichung die Klein-Gordon-Gleichung reproduzieren soll, ergeben sich bestimmte Bedingungen an diese Koeffizienten:

• $\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=1$

• $\left\{\alpha _{i},\beta \right\}=\left\{\alpha _{i},\alpha _{j}\right\}=0$ mit $i\neq j$

Hierbei tritt der Antikommutator $\left\{A,B\right\}=AB+BA$ auf. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass die Koeffizienten keine Zahlen sein können. Damit müssen diese Koeffizienten quadratische Matrizen sein. Einen weiteren Hinweis liefert die Spur; es kann gezeigt werden, dass alle vier Matrizen spurfrei sein müssen. In Verbindung mit der ersten der obigen Bedingungen bedeutet dies, dass Zahl der Zeilen und Spalten gerade sein muss.

Der erste Kandidat wären demnach $2\times 2$-Matrizen, aber davon gibt es nur drei unabhängige antikommutierende, nämlich die Pauli-Matrizen $\sigma _{i}$. Demnach schreiben wir die Koeffizienten als $4\times 4$-Matrizen. Eine mögliche Darstellung lautet:

$\beta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

$\alpha _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine $2\times 2$-Matrix):

$\alpha ^{n}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{n}\\\sigma _{n}&0\end{pmatrix}};\;\beta ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Um die Dirac-Gleichung kompakter schreiben zu können, definieren wir nun die Diracschen Gamma-Matrizen:

$\gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}};\;\gamma ^{k}=\beta \alpha _{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\end{pmatrix}}$

Damit schreibt sich die Dirac-Gleichung:

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =\left(i\partial \!\!\!/-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0$

Nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde hierbei die Feynmansche Slash-Schreibweise $a\!\!\!/=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$ verwendet (genannt „Feynman-Dolch“, oder „Feyman-Dagger“), wobei über die $\mu$ von 0 bis 3 zu summieren ist.

Eigenschaften

Die definierende Eigenschaft der Gamma-Matrizen ist die folgende Antikommutator-Relation:

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2g^{\mu \nu }1_{4\times 4}$

Für alle Dirac-Matrizen gilt: $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }$

Hierbei kommt die Minkowski-Metrik $g^{\mu \nu }$ zum Einsatz. Es gilt:

$g^{\mu \nu }={\begin{cases}1,&\mu =\nu =0\\-\delta _{\mu \nu },&\mu ,\nu =1..3\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

Diese Antikommutator-Relation bedeutet, dass die Dirac-Matrizen eine Clifford-Algebra bilden. Die zu Grunde liegende Gruppe ist die Lorentz-Gruppe. Das bedeutet, dass die sechs Kommutatoren der Gamma-Matrizen

$\sigma ^{\mu \nu }=[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }$

Generatoren der Lorentz-Gruppe sind.

Ferner ist der Index $\mu$ an den Gamma-Matrizen ein echter Lorentz-Index. Das bedeutet, dass sich für zwei Dirac-Spinoren $\psi$ und $\chi$ der Vektor mit den Einträgen ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\chi$ wie ein normaler 4-Vektor unter Lorentz-Transformationen verhält.

Zweckmäßigerweise wird meist noch eine weitere Gamma-Matrix definiert:

$\gamma ^{5}=\gamma _{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$

Sie hat folgende Eigenschaften:

• $\left(\gamma _{5}\right)^{\dagger }=\gamma _{5}$

• $\left(\gamma _{5}\right)^{2}=1$

• $\left\{\gamma _{5},\gamma ^{\nu }\right\}=0$

Darstellungen

Die obige Wahl für die Koeffizienten-Matrizen und damit für die Gamma-Matrizen ist nicht eindeutig. In der Tat sind alle Matrizen, die über Ähnlichkeitstransformationen aus den obigen Matrizen hervorgehen, Darstellungen der Clifford-Algebra.

Dirac-Pauli Darstellung

In der oben gewählten Darstellung, die Dirac-Pauli Darstellung genannt wird, kann man den Spinor in eine große und eine kleine Komponente aufspalten.

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}$

Weyl Darstellung

Eine weitere, gerne verwendete Darstellung ist die nach Hermann Weyl benannte Weyl Darstellung, die auch chirale Darstellung genannt wird. Im Vergleich zur Dirac-Pauli Darstellung ist einfach $\gamma ^{0}$ mit $\gamma ^{5}$ vertauscht:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}$

Dies wird häufig auch als

$\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}$

mit

$\sigma ^{\mu }=(1,{\vec {\sigma }})=(1,\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),\quad {\bar {\sigma ^{\mu }}}=(1,-{\vec {\sigma }})=(1,-\sigma _{1},-\sigma _{2},-\sigma _{3})$

geschrieben.

Die Chiralität eines Dirac-Felds ist definiert als einer der beiden Eigenwerte des Operators $\gamma _{5}$, also +1 oder -1. In der Weyl Darstellung ist $\gamma _{5}$ diagonal und man kann die Projektoren auf die rechts- und linkshändigen Komponente des Teilchens einfach ausdrücken:

$P_{L}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad P_{R}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}$

Mit den zweikomponentigen Weyl-Spinoren $\psi _{L},\psi _{R}$ kann man einen Dirac-Spinor $\psi$ schreiben als:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$

Majorana Darstellung

Eine "reelle Darstellung" der Dirac-Matrizen ist die Majorana-Darstellung, in der alle Gamma-Matrizen imaginär sind.

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\-\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{3}\\i\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}$

$\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1}\\-i\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}$

Bücher

• James Bjorken & Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, ISBN 3-411-00098-8
• Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, ISBN 0-201-50397-2