Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ in einem dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$.

Die Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ bilden mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem. Kreuz- und Skalarprodukt sind über das Spatprodukt miteinander verknüpft.

Mathematische Darstellung

Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\sin(\theta )\cdot {\vec {e}}$

wobei $sin(\theta )\,$ der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\theta$ ist, und ${\vec {e}}$ der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor und $\vert {\vec {a}}\vert$, $\vert {\vec {b}}\vert$ die jeweiligen Längen (Beträge) der Vektoren sind.

Orientierung

Rechte-Hand-Regel

Es gibt zwei Vektoren ${\vec {e}}$, die senkrecht auf ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ stehen und die entsprechende Länge haben; diese weisen in entgegengesetzte Richtungen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

Für den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Standardbasis $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ und dem kanonischen Skalarprodukt gibt es eine Formel für das Kreuzprodukt.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\det {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}a_{3}&b_{3}\\a_{1}&b_{1}\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\3\cdot (-7)-1\cdot 9\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}$

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer „symbolischen Determinantenschreibweise“. Dabei erzeugt man eine $3\times e$-Matrix in deren ersten Spalte die Symbole $i$, $j$ und $k$ stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors ${\vec {a}}$ und die dritte von denen des Vektors ${\vec {b}}$ gebildet. Diese Determinante berechnet man nach der Regel von Sarrus. Der dabei auftretende Faktor von $i$ bildet die erste Komponente des Kreuzprodukts, der von $j$ die zweite und der von $k$ die dritte.

$\det {\begin{pmatrix}i&a_{1}&b_{1}\\j&a_{2}&b_{2}\\k&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}=i\cdot a_{2}\cdot b_{3}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot k+b_{1}\cdot j\cdot a_{3}-k\cdot a_{2}\cdot b_{1}-a_{3}\cdot b_{2}\cdot i-b_{3}\cdot j\cdot a_{1}=(a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2})\cdot i+(b_{1}\cdot a_{3}-a_{1}\cdot b_{3})\cdot j+(a_{1}\cdot b_{2}-\cdot a_{2}\cdot b_{1})\cdot k$

Unter Zuhilfenahme des total antisymmetrischen Tensors dritter Stufe $\epsilon _{ijk}$ (Levi-Civita-Tensor) lassen sich die Komponenten wie folgt berechnen:

$c_{i}=({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

Grafische Darstellung

Die folgende Darstellung zeigt, wie die drei Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ zueinander angeordnet sind.

Der Betrag von ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ entspricht der Fläche des von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms.

Bilinearität

Das Kreuzprodukt ist eine bilineare Abbildung. Als solche gelten zwei Distributivgesetze:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$

und

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$.

Ferner gilt:

${\vec {a}}\times {\vec {0}}={\vec {0}}.$

Weiterhin gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:

$\lambda$ sei aus $\mathbb {R}$.

$(\lambda {\vec {a}})\times {\vec {b}}=\lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {a}}\times (\lambda {\vec {b}})$.

Andere wichtige Eigenschaften

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder auch schiefsymmetrisch.

Für das Quadrat der Norm erhält man:

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}-\langle {\vec {a}};{\vec {b}}\rangle ^{2}$

Für den zwischen den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten nicht überstumpfen Winkel $\phi$ gilt:

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\phi )$.

Sind die Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor, insbesondere gilt:

${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}.$

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ, aber es gilt die Jacobi-Identität.

Kreuzprodukt der Einheitsvektoren

Für jeden der kanonischen Einheitsvektoren im R³, sprich ${\vec {e_{1}}}$, ${\vec {e_{2}}}$ und ${\vec {e_{3}}}$, gilt, dass er sich als Kreuzprodukt der jeweils zwei verbleibenden Vektoren darstellen lässt.

Beispiel:

${\vec {e_{1}}}\times {\vec {e_{2}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\vec {e_{3}}}$

Graßmann-Identität

Die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Graßmann, auch BAC-CAB Regel genannt) ist geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$,

Ein Merksatz für diese Formel ist “ABC = BAC minus CAB” oder gesprochen "erst Backen, dann cabben" (sprich kappen, im Sinne von abschneiden, weist auch auf das Minus hin).

Anmerkung: Die Graßmann-Identität gilt nur für Vektoren, die bezüglich der Multiplikation kommutieren. Also nicht für vektorwertige Operatoren (wie z.B. für den Nabla-Operator).

Dort muss die allgemeinere Regel angewendet werden:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$

Jacobi-Identität

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$

Lagrange-Identität

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})$

Ableitungen

Kettenregel

${\frac {d}{dx}}({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\frac {d{\vec {a}}}{dx}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\frac {d{\vec {b}}}{dx}}$

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Determinante

Das Kreuzprodukt ergibt sich formal als Determinante einer $3\times 3$-Matrix:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}{\vec {e_{x}}}&{\vec {e_{y}}}&{\vec {e_{z}}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\vec {e_{x}}}\cdot (a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})+{\vec {e_{y}}}(b_{1}a_{3}-a_{1}b_{3})+{\vec {e_{z}}}(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})$.

Sei nun V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und $a_{1}$, ..., $a_{n-1}$ Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

$a_{1}\times \ldots \times a_{n-1}:=\det(E,a_{1},\ldots ,a_{n-1})$,

wobei die a_i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden, das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Anwendungen

Etliche physikalische Größen können mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet werden. Beispiele dafür sind das Drehmoment, die Lorentzkraft oder der Poynting-Vektor.

Weblinks

• http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/1997/skript/11_3_Kreuzprodukt_und.html
• Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
• Rechte-Hand-Regeln