Denavit-Hartenberg-Transformation

Allgemein

Die Denavit-Hartenberg-Transformation (DH-Transformation) aus dem Jahr 1955 ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Basis von homogenen Matrizen und der sogenannten Denavit-Hartenberg-Konvention (DH-Konvention) die Überführung von Ortskoordinatensystemen (OKS) innerhalb von kinematischen Ketten beschreibt. Sie erleichtert so vor allem die Berechnung der direkten Kinematik (Vorwärtskinematik) und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren, insbesondere im Bereich Robotik.

DH-Konvention

Folgende Voraussetzungen sind notwendig:

1. die Koordinatensysteme liegen fest in den Bewegungsachsen
2. die $z_{n-1}$-Achse liegt entlang der Bewegungsachse des n-ten Gelenks
3. die $x_{n}$-Achse steht normal auf der $z_{n-1}$-Achse und zeigt von ihr weg
4. die Anordnung der $y_{n}$-Achse ergibt ein rechtshändiges System

Dabei ist zu beachten:

1. Für das Koordinatensystem {0} entfällt Regelung 3. Die x-Achse und danach die y-Achse sind beliebig wählbar innerhalb der Rahmenbedingungen eines rechtshändigen Systems.

DH-Transformation

Die eigentliche DH-Transformation vom OKS $T_{n-1}$ in das OKS $T_{n}$ besteht in der Hintereinanderausführung folgender Einzeltransformationen:

• einer Rotation $\theta _{n}$ (Gelenkwinkel) um die $z_{n-1}$-Achse, damit die $x_{n-1}$-Achse parallel zu der $x_{n}$-Achse liegt

$\operatorname {Rot} (z_{n-1},\theta _{n})={\begin{pmatrix}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Translation $d_{n}$ (Gelenkabstand) entlang der $z_{n-1}$- Achse bis zu dem Punkt, wo sich $z_{n-1}$ und $x_{n}$ schneiden

$\operatorname {Trans} (z_{n-1},d_{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Translation $a_{n}$ (Armelementlänge) entlang der $x_{n}$-Achse, um die Ursprünge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen

$\operatorname {Trans} (x_{n},a_{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&a_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Rotation $\alpha _{n}$ (Verwindung) um die $x_{n}$-Achse, um die $z_{n-1}$-Achse in die $z_{n}$-Achse zu überführen

$\operatorname {Rot} (x_{n},\alpha _{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann (von links nach rechts zu interpretieren):

${}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} (z_{n-1},\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} (z_{n-1},d_{n})\cdot \operatorname {Trans} (x_{n},a_{n})\cdot \operatorname {Rot} (x_{n},\alpha _{n})$

$={\begin{pmatrix}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&a_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&a_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Die Parameter $\theta _{n},d_{n},a_{n}$ und $\alpha _{n}$ werden dabei auch Denavit-Hartenberg-Parameter genannt.

$\theta _{n}$ und $d_{n}$ sind variable Größen während der Bewegung des Roboters, abhängig von dessen spezieller Geometrie und Maßen. $\alpha _{n}$ und $a_{n}$ dagegen sind sowohl bei Rotations-, als auch bei Schubgelenken invariante Größen und müssen für die spätere Berechnung der direkten Kinematik nur einmal für jedes einzelne Armelement bestimmt werden.

Weblinks

• Denavit-Hartenberg frame assignments
• Denavit-Hartenberg Parameters

Literatur

• Hans-Jürgen Siegert, Siegfried Bocionek: Robotik, Programmierung intelligenter Roboter, Springer Verlag 1996, ISBN 3540606653
• Wolfgang Weber: Industrieroboter, Methoden der Steuerung und Regelung, Carl Hanser Verlag, München Wien, 2002, ISBN 3446216049
• Jorge Angeles: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer Verlag, New York, 1997, ISBN 0387945407