2.1

Zu zeigen:

Kein Element aus $Cut_{c}({\overline {F}})$ liegt in $Cut_{1-c}'(F)$ und umgekehrt.

Da in $Cut_{c}({\overline {F}})$ nur Elemente liegen können, für die gilt: 1-F(x)≥c; aber in $Cut_{1-c}'(F)$ nur Elemente liegen können, für die gilt: F(x)>1-c $\Rightarrow$ 1-F(x)<c, folgt die Behauptung.

2.2

a)

$x\approx y=_{def}xRy{\mbox{ und }}yRx$ ist Äquivalenzrelation, da gilt:

1. $\approx$ ist reflexiv

zu zeigen: $x\approx x$

Da R reflexiv folgt dies direkt aus der Anwendung der Definition von $\approx$

2. $\approx$ ist transitiv

zu zeigen: $x\approx y\wedge y\approx z\Rightarrow x\approx z$

Es gilt also:

$\left.{\begin{matrix}x\approx y\Rightarrow xRy\wedge yRx\Rightarrow xRy\\y\approx z\Rightarrow yRz\wedge zRy\Rightarrow yRz\end{matrix}}\right\}\Rightarrow xRz{\mbox{ , da R transitiv}}$

3. $\approx$ ist symmetrisch

zu zeigen: $x\approx y\Rightarrow y\approx x$

Es gilt: $x\approx y=_{def}xRy\wedge yRx=yRx\wedge xRy=y\approx x$

b)

$(M/\approx ,\geq )$ ist Halbordnung, denn es gilt:

$\approx$ ist reflexiv
$\approx$ ist transitiv
$\approx$ ist antisymmetrisch

Seien $J,K,L\in M/\approx$ .

zu 1.
zu zeigen $K\leq K$

$K\leq K=_{def}\exists x\exists y:x\in K,y\in K,xRy$

Wähle nun x,y∈K. Da $K\in M/\approx$ , gilt:

$x\approx y=xRy\wedge yRx$ .

Also auch $\exists x\exists y:x\in K,y\in K,xRy$

zu 2.
zu zeigen: $J\leq K\wedge K\leq L\Rightarrow J\leq L$

Es gilt:

$J\leq K\Rightarrow \exists x\exists y:x\in J\wedge y\in K\wedge xRy$
$k\leq L\Rightarrow \exists x'\exists y':x'\in K\wedge y'\in L\wedge x'Ry'$

Da $x',y\in K\in M/\approx$ :

$x'\approx y\Rightarrow x'Ry\wedge yRx'$

Insgesamt gilt also:

$\exists x\exists x'\exists y\exists y':x\in J\wedge x',y\in K\wedge y'\in L\wedge xRy\wedge yRx'\wedge x'Ry'\Rightarrow$

$\exists x\exists y':x\in J\wedge y'\in L\wedge xRy'\Rightarrow J\leq L$

zu 3.
zu zeigen: $K\leq L\wedge L\leq K\Rightarrow K=L$

Es gilt:

$K\leq L\Rightarrow \exists x\exists y:x\in K\wedge y\in L\wedge xRy$
$L\leq K\Rightarrow \exists x'\exists y':x'\in L\wedge y'\in K\wedge x'Ry'$

Da x',y∈L: $x'\approx y\Rightarrow x'Ry\wedge yRx'$

Da x,y'∈K: $x\approx y'\Rightarrow xRy'\wedge y'Rx$

Wähle nun beliebig aber fest ein t∈K. Dann gilt:

$t\approx x\wedge t\approx y'\Rightarrow$
$tRx\wedge xRt\wedge tRy'\wedge y'Rt\Rightarrow$
$tRx\Rightarrow _{a}tRy\Rightarrow _{b}tRy'$

a folgt aus der Transitivität von R und aus K≤L.
b folgt aus der Transitivität von R und aus $x'\approx y$

Aus der Symmetrie von R folgt somit auch x'Rt und insgesamt also $x'\approx t$ . Da t∈K beliebig gewählt wurde und x'∈L, folgt hiermit $K\subseteq L$ . Die andere Richtung für $L\subseteq K$ geschieht analog.

2.5

a)

b)

c)

zu zeigen: $non_{d}(x)\leq non_{L}(x)$

1.Fall: x=1

2. Fall: x&isin:[0,1)