Hauptideal

In der abstrakten Algebra ist ein Hauptideal ein Ideal I eines Ringes R, das von einem einzelnen Element a von R erzeugt wird.

Formal definiert man für einen Ring R:

• Ein Haupt-Linksideal ist eine Teilmenge der Form

  $Ra:=\{ra|r\in R\}$,

• ein Haupt-Rechtsideal ist eine Teilmenge der Form

  $aR:=\{ar|r\in R\}$,

• ein (beidseitiges) Hauptideal ist eine Teilmenge der Form

  $RaR:=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i},s_{i}\in R\}$,

mit einem Ringelement a.

Ist R ein kommutativer Ring, dann stimmen alle drei Begriffe überein. In diesem Fall schreibt man meist (a) oder $\langle a\rangle$ für das von a erzeugte Ideal.

Nicht alle Ideale sind Hauptideale. Betrachte zum Beispiel den kommutativen Ring C[X, Y] aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von X und Y erzeugte Ideal, (X, Y), besteht aus allen Polynomen aus C[X, Y], deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom p ein Erzeuger von (X, Y), dann müssten X und Y Vielfache von p sein; dies ist unmöglich, wenn p nicht konstant ist. Das einzige konstante Polynom in (X, Y) ist aber das Nullpolynom, und wir haben einen Widerspruch.

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring (engl. principal ideal domain, PID).

Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring (engl. unique factorization domain, UFD); der von den ganzen Zahlen bekannte Beweis der Primfaktorzerlegung (der Fundamentalsatz der Arithmetik) funktioniert in jedem Hauptidealring.

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring; der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) liefert den Erzeuger eines vorgegebenen Ideals.

Allgemeiner haben je zwei Hauptideale in einem beliebigen kommutativen Ring einen größten gemeinsamen Teiler im Sinne der Idealmultiplikation. In Hauptidealringen erlaubt dies die Bestimmung des ggT zweier Ringelemente, eindeutig bis auf Multiplikation mit Einheiten. Wir können also den ggT von a und b definieren als einen Erzeuger des Ideals (a, b).