Faltung (Mathematik)

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Muss noch vervollständigt werden.

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In der Mathematik und besonders in der Systemtheorie beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, welcher aus zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion ergibt, die sozusagen die Überlappungsfläche zwischen f und einer gespiegelten, verschobenen Version vun g definiert.

Die Faltung von f mit g wird mit f*g notiert und ist definiert als das Integral über das Produkt beider Funktionen nachdem eine gespiegelt und verschoben wurde.

$(f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Der Integrationsbereich ergibt sich aus dem Definitionsbereich beider Funktionen. Im Fall von einem beschränkten Definitionsbereich werden f und g often als periodisch fortgesetzt angenommen damit der Faktor $g(t-\tau )$ keine Verletzung des Wertebereiches erzeugt. Eine Nullfortsetzung ist natürlich auch möglich.

Wenn X und Y zwei Zufallsprozesse mit den Verteilungsdichtefunktionen f und g sind, dann ist die Verteilungsdichtefunktion des Summenprozesses X+Y gegeben als f*g.

In der Digitalen Signalverarbeitung hat man es des öfteren mit zeitdiskreten Funktionen zu tun. Die zeitdiskrete Faltung ist definiert als:

$(f*g)(k)=\sum _{n}f(n)g(k-n)$

Der Faltungsoperator genügt folgenden Eigenschaften:

• Kommutativität

$f*g=g*f$

• Assoziativität

$f*(g*h)=(f*g)*h=f*g*h$

• Distributivität

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$

• Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)$

Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

• Faltungstheorem

$f*g=({\mathcal {F}}f)\cdot ({\mathcal {F}}g)$

Wobei ${\mathcal {F}}f$ die Fouriertransformierte von $f$ beschreibt. Dieses Theorem gilt auch für die Laplace Transformation.