Ebene Welle

Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen sind. Gleichbedeutend damit ist, dass sich die Welle geradlinig ausbreitet. Zudem wird von einer ebenen Welle eine räumlich konstante Amplitude gefordert.

Ebene Wellen gehören zu den einfachsten Lösungen von Wellengleichungen, wie sie in der klassischen Mechanik, in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik auftreten.

Mathematische Beschreibung der ebenen Welle

Um die mathematische Struktur einer ebenen Welle zu verstehen, wird diese im nachfolgenden Absatz zunächst im speziellen Koordinatensystem beschrieben, dessen x-Achse in Ausbreitungsrichtung zeigt. Für jeden reellen Zahlenwert der Koordinate x nimmt eine solche Welle einen bestimmten, von den anderen Koordinaten unabhängigen Zahlenwert an, das heißt sie ist eine mathematische Funktion, die nur von x und t abhängt. Der Graph dieser Funktion für festes t beschreibt die Gestalt der Welle.

Eine genauere Betrachtung zeigt, dass die Ebene Welle auf dieser Zahlengeraden ein periodisches Verhalten zeigt, d.h. die Funktionswerte wiederholen sich, wenn man entlang der Zahlengeraden fortschreitet.

Beschreibung einer ebenen Welle

Eine ebene Welle wird am einfachsten beschrieben, wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass die x-Achse der Ausbreitungsrichtung entspricht. Die Werte für jedes y und z sind dann identisch. In den Formel benötigt man dann nur noch die Parameter x und t. Verschwindet der Nulldurchgang im der Amplitude bei x=0, so ergibt sich:

$G(x,t)=G_{0}\cdot sin(2\pi f\cdot (t-{\frac {x}{v}}))$

Die Welle wird also durch eine Sinusfunktion beschrieben.

G ist die sich ändernde Größe (Auslenkung, Dichte etc.). G hängt vom Ort x und der Zeit t ab.

G₀ ist der maximale Wert (die Amplitude) der Welle.

f ist die Frequenz.

v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Beschreibung einer ebenen Welle in der Quantenmechanik

Eine räumlich und zeitlich nicht lokalisierte, unendlich ausgedehnte ebene Welle kann in eindimensionaler Darstellung in der Quantenmechanik folgendermaßen angegeben werden (da sich die Werte in y- und z-Richtung nicht ändern):

$\Psi (x,t)=A\cdot e^{i\cdot (k\cdot x-\omega \cdot t)}$

(Anmerkung: Dies ist lediglich eine Darstellung einer Ebenen Welle mit Hilfe der komplexen Zahlen. Es steckt aber wiederum eine Sinusfunktion dahinter - siehe Eulergleichung.)

A ist die Amplitude der Welle, hier eine positive reelle Zahl.

k ist der Betrag des Wellenzahlvektors, im eindimensionalen Fall eine positive reelle Konstante.

x ist der Ortsparameter, an dem die Welle betrachtet wird.

$\omega$ ist die Kreisfrequenz der Welle ($2\pi f$).

t ist der Parameter für die Zeit.

Der Betrag des Impulses p der Welle hängt mit dem Betrag k des Wellenzahlvektors folgendermaßen zusammen: $p=h\cdot k$.

h ist die Heisenbergsche Konstante.

Die etwas mysteriöse Bedeutung von imaginär verschwindet, wenn man komplexe Zahlen zweidimensional betrachtet (Polarkoordinaten).

Der Ausdruck $e^{i\cdot \Phi }$ beschreibt einen rotierenden Zeiger im Einheitskreis, wenn $\Phi$ die reellen Zahlen durchläuft.

Der Faktor A verändert nur den Radius des Kreises, für den die Zeigerbewegung betrachtet wird. Während der Einheitskreis den Radius 1 hat, beschreibt $A\cdot e^{i\Phi }$ eine Zeigerbewegung im Kreis mit dem Radius A.

Für $\Phi =k\cdot x-\omega \cdot t$ erhält man eine Schwingung am Ort x, wenn x festgehalten wird und t alle möglichen Zeiten durchläuft.

Die Welle schwingt also am Ort x.

Hält man die Zeit t fest und betrachtet die Gestalt der Welle entlang der Zahlengeraden, so wiederholen sich die Funktionswerte. Hieraus erkennt man die Periodizität der Welle, bzw. ihre Wellengestalt.

Die Welle nimmt den Wert A an, wenn $k\cdot x=\omega \cdot t$ gilt. Hieraus folgt $x={\frac {\omega }{k}}\cdot t$.

Bei einer Lichtwelle ist ${\frac {\omega }{k}}=c$, d.h. es gilt $x=c\cdot t$, und hierfür nimmt die Welle den Wert A an.

c ist die konstante Lichtgeschwindigkeit. Für $x=c\cdot t$ nimmt die Welle den Wert A an, man kann dies Ergebnis so interpretieren, dass die Amplitude der Welle mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung fortschreitet.

Im dreidimensionalen Fall ist der Parameter k durch den Wellenzahlvektor k zu ersetzen. Dieser Vektor bestimmt dann die Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Welle bildet eine Wellenfront aus, die in Richtung des Wellenzahlvektors fortschreitet.

Ebene Wellen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik werden Ebene Wellen zur Beschreibung von freien Teilchen verwendet, die durch einen exakten Impuls und eine exakte Energie charakterisiert sind. Ein durch ebene Wellen beschriebenes Teilchen ist, übereinstimmend mit der Heisenbergschen Unschärferelation, räumlich nicht lokalisiert. Es ist sozusagen über den ganzen Raum verteilt. Man kann die Ebene Welle als Modell zur Beschreibung eines Photons verwenden, wenn man ihm einen exakten Impuls p und eine feste Energie E zuordnet.

Allerdings zeigen die vorangehenden Überlegungen bereits, dass es schwierig ist, sich ein solches Photon vorzustellen, es handelt sich nur um ein Modell, mit dem man z.B. Interferenzerscheinungen beschreiben kann.

Man erkennt an diesen Überlegungen die Grenzen der Modellvorstellung: ein reales Teilchen ist nicht unendlich ausgedehnt, es ist räumlich lokalisiert. Dies führt dann allerdings dazu, dass über seinen Impuls nur unscharfe Aussagen gemacht werden können.

Räumlich beschränkte Wellenpakete können durch Überlagerung einer Vielzahl ebener Wellen unterschiedlicher Amplitude und Frequenz erzeugt werden, und man erhält dadurch eine bessere modelltheoretische Annäherung an reale Teilchen. Zum Verständnis benötigt man Kenntnisse über mehrdimensionale Integralrechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie und Fouriertransformation.