Achilles und die Schildkröte

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er ihren Vorsprung eingeholt haben. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte zu jedem Zeitpunkt hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähern, sie aber niemals überholen könne.

Wie die anderen Paradoxien Zenons beruht der Trugschluss auf zwei Fehlern:

1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
2. Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon.

Literatur

• Sainsbury, Richard Mark: Paradoxien. Stuttgart: Reclam 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6
• Grunbaum, Adolf: Modern Science and Zeno's Paradoxes. Middletown: Wesleyan University Press 1967.
• C. V. Jones: Zeno's paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
• S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, 843-853. London, 1998.
• R. Morris: Achilles in the Quantum Universe. Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
• Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6

Weblinks

• Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• Einfache Darstellung eines Mathematiklehrers
• Kommentar eines Mathematiklehrers im Ruhestand
• Eintrag in Wolfram's Math World (mit weiterer Literatur)
• Lecture Notes von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia)
• Peter Lynds: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (mit weiterer Literatur)