Satz von Bayes

Das Bayes-Theorem (oder auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes. Es gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet. Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ lautet es

$P(A|B)={\frac {P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}}\;.$

Hierbei ist $P(A)$ die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ und $P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ unter der Bedingung, dass $A$ auftritt, auch Likelihood genannt. Die Korrektheit des Satzes folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Bei abzählbar vielen Ereignissen ergibt sich das Bayessche Theorem folgendermaßen: Falls $\{A_{i},i=1,\ldots ,N\}$ ein totales Ereignissystem mit echter Teilmenge $B$ ist, gilt für die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_{i}|B)$

$P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}={\frac {P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}{\sum _{i=1}^{N}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}}$

wobei die Beziehung

$P(B)=P(A_{1}\cap B)+P(A_{2}\cap B)+\cdots =P(B|A_{1})\cdot P(A_{1})+P(B|A_{2})\cdot P(A_{2})+\cdots ={\sum _{i=1}^{N}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}$

als Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird.

Interpretation

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Die Berechnung von $P(Ereignis|Ursache)$ ist häufig einfach, aber oft ist eigentlich $P(Ursache|Ereignis)$ gesucht, also ein Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können der Entscheidungsbaum und die A-Priori-Wahrscheinlichkeit helfen.

Anwendungsgebiete

• Medizin: von einem positiven medizinischen Testergebnis (Ereignis) wird auf das Vorhandensein einer Krankheit (Ursache) geschlossen.
• Informatik: Bayes-Filter - Von charakteristischen Wörtern in einer E-Mail (Ereignis) wird auf die Eigenschaft, UBE zu sein (Ursache), geschlossen.

Rechenbeispiel

In einem medizinischen Beispiel trete das Ereignis $A$, dass ein Patient eine schwere seltene Krankheit hat (Grundanteil) mit der Wahrscheinlichkeit $P(A)=0.0002$ auf. $B$ bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist. Der Hersteller des Tests versichert, dass der Test eine Krankheit zu 99% erkennt ($P(B|A)=0.99$) und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt ($P(B|\neg A)=0.01$). Die Frage ist: Wie wahrscheinlich ist ein positiv getesteter Patient an der seltenen Krankheit erkrankt?

Die Aufgabe kann entweder

• durch Einsetzen in die Formel oder
• durch einen Entscheidungsbaum (nur bei diskreten Wahrscheinlichkeiten)

gelöst werden

Lösung mit dem Satz von Bayes

Nach dem Satz von oben finden wir

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|\neg A)P(\neg A)+P(B|A)P(A)}}={\frac {0.99\cdot 0.0002}{0.01\cdot 0.9998+0.99\cdot 0.0002}}\approx 0.019,$

d.h. der Patient hat eine Chance von $98\%$ gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte.

Lösung mit dem Entscheidungsbaum

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben werden einfach eingesetzt. Das Diagramm "rechnet mit".

                   10 000
                  /      \
                 /        \ 
                /          \ 
              2(krank)    9 998 (gesund)
              /\             /\
             /  \           /  \
            /    \         /    \
           /      \       /      \
Test-     0       2     100      9898
ergebnis  -       +     +        -
(gerundet)

Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 (=falsch positiv) von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.

Verständnisprobleme des Bayes-Theorems

Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind, können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständnisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind [1]:

1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem")
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u.ä.

Weblinks

• Rudolf Sponsel: Das Bayes'sche Theorem
• Der Bayessche Satz der Wahrscheinlichkeit
• Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
• Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)
• Im Wiki-Mathebuch finden sich einige Beispiele