Ordinalzahl

Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: "Erstes, zweites, drittes, ... Element". Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf dieser Weise ordnet man jedem Element der Folge eine natürliche Zahl zu, die zum Index dieses Elementes wird. Mit Hilfe der Indizes kann man Schlussfolgerungen darüber machen, ob ein Element vor einem anderen Element steht, wie "weit" es vom Anfang der Folge entfernt ist und falls es einen Vorgänger hat, diesen Vorgänger zu bestimmen. Solche Schlussfolgerungen kann man nicht nur für die Folge als ganzes machen, sondern auch für jede ihrer Teilfolgen, die genau so wie die gesamte Folge ein Anfangselement und Nachfolgeelemente besitzen. Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Georg Cantor verdanken wir die Idee, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf beliebige unendliche Mengen verallgemeinern kann. Während die beiden Konzepte - Zahl als Messinstrument für Größe und Zahl als Index - für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Größe einer Menge führt zu dem Begriff Kardinalzahl, während die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge zu dem Begriff Ordinalzahl führt, was Thema dieses Artikels ist. Die Gesamtheit der Ordinalzahlen, die man meistens mit $\mathrm {On}$ oder $\mathrm {Ord}$ bezeichnet, bildet in der modernen Mengenlehre - wie die Kardinalzahlen - eine echte Klasse.

Geschichte der Entdeckung

Den Bedarf an einer Erweiterung des Sytems der natürlichen Zahlen ist von Cantor festgestellt worden, als er die Frage untersucht hat, welche von den reelle Funktionen eine eindeutige Darstellung durch trigonometrische Reihen haben. Ihm ist aus Vorarbeiten von E. Heine bekannt gewesen, dass die im Intervall $(-\pi ,\pi )$ stetigen Funktionen ein solche Darstellung haben. Cantor zeigt 1870, dass dies für jede Funktion richtig ist, deren trigonometrische Reihe überall konvergiert. Die Frage nach der Existenz von weiteren Funktionenklassen, die diese Eigenschaft besitzen, ist damit aber noch nicht beantwortet. Schon der Satz von Heine ist für Funktionen richtig, die fast überall stetig sind, also solche mit nur endlich vielen Unstetigkeitsstellen. Die Frage nach der Eindeutigkeit ist äquivalent zu der Frage, ob das Verschwinden der trigonometrischen Reihe

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$

auf der Menge $(-\pi ,\pi )$ \ $E$ auch das Verschwinden der Koffizienten $\{a_{n}\}_{n=0,1,...}$ und $\{b_{n}\}_{n=1,2,...}$ nach sich zieht. Mengen $E$ mit dieser Eigenschaft werden Mengen vom Typ U genannt (aus dem französischen unicite - Eindeutigkeit) und alle andere Mengen - Mengen vom Typ M (multiplicite - Mehrdeutigkeit). Endliche Mengen sind also Mengen vom Typ U. Indem man $f(x)$ zwei Mal integriert, erhält man die Riemann-Funktion:

$F(x)={\frac {a_{0}}{4}}x^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}{n^{2}}}+Cx+D.$

Wenn $F(x)$ linear ist, dann sind alle $\{a_{n}\}_{n=0,1,...}$ und $\{b_{n}\}_{n=1,2,...}$ gleich $0$. Wenn man also für eine Menge $P$ beweisen würde, dass aus ${\ }^{\forall }$$x$ ${\ }^{\in }$ $((-\pi ,\pi )$ \ $P)$ $(f(x)=0)$ die Linearität von $F(x)$ folgt, dann wäre damit auch die Zugehörigkeit von $P$ zum Typ U bewiesen worden. Cantor verwendet diese Idee in sienem Artikel "Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen" vom Jahre 1871 und zeigt:

"...Ist (p,q) irgendein Intervall, in der nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge P liegt, so ist F(x) in deisem Intervalle linear..." (Seite 131.)

Falls $P$ unendlich ist, dann hat sie mindestens einen Häufungspunkt. Cantor nennt die Menge der Häufungspunkte einer Menge $P$ abgeleitete Menge und bezeichnet sie mit $P^{(1)}$, die abgeleitete von $P^{(1)}$ beziechnet er mit $P^{(2)}$ usw.. (s. Hauptartikel: Ableitung einer Menge). Falls nach eindlich vielen Schritten eine endliche Menge $P^{(n)}$ erreicht wird, dann nennt Cantor die Menge $P$ eine Menge $n$-er Art. Cantor stellt fest, dass sich die Linearität von $F(x)$ in dem Intervall $(p,q)$ auch dann beweisen läßt, wenn $(p,q)$ endlich viele Punkte der Menge $P^{(k)}$ enthält, wobei die Korrektheit dieser Aussage von der Wahl der natürlichen Zahl $k$ nicht abhängig ist. Mengen mit einer leeren mehrfachen Ableitung sind also immer vom Typ U. In deisem Artikel gehen die Cantorschen Überlegungen noch nicht über endliche Iterrationspozessen hinaus allerdings enthält er schon Denkmuster, die später die gesamte Mengenlehre prägen werden. Er ordnet der Veranschaunlichung der reellen Zahlen durch geometrischen Punkten eine zweitrangige Rolle zu, indem er die reellen Zahlen als Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge A der rationalen Zahlen definiert. Die Menge dieser Folgen bezeichnet er mit B und definiert dort die für A üblichen Rechenarten. Chauchy-Folgen aus Elementen der Menge B bilden eine weitere Menge C. Dieser Prozess lässt sich theoretisch ins Unendliche fortsezen. Cantor versteht von nun an unter Punkt ein Element irgendwelcher Menge A, B, C,... . Der Aufbau solcher geordneter Hierarchien, bei denen der Übergang von einer Stufe zur Nächsten durch Grenzübergänge erfolgt, ist später zu einem häufig eingesetzten Mittel zur Einführung neuer mengentheoretischen Begriffe geworden. Wir werden sehen, dass eine solche Hierchie auch bei den Ordnungszahlen zu erkennen ist. Nach dieser Arbeit über trigonometrischen Reihen hat sich das Interesse Cantors für das Problem eine gleichzeitig notwendige und ausreichende Bedingung für die Eindeutigkeit der Entwicklung von Funktionen in trigonometrischen Reihen abgeschwächt. Die Frage ist später sehr intensiv von du Bois-Reymond, de la Vallee Poussin, Young, Denjoy, Bari, Raichmann und Menschow untersucht worden allerdings ohne dabei zu einem zufriedenstellenden Ergebnis zu kommen. Cantor selbst hat sich der Aufgabe gewidmet, die Punktmengen danach zu klassifizieren, wann der Prozess des Ableitens terminiert. Mengen, bei dennen das nach endlich vielen Schritten passiert, nennt Cantor Mengen der ersten Gattung. Eine Menge $P$ ist genau, dann eine Menge der ersten Gattung, wenn die Menge

$\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(n)}$

nicht leer ist. Ein natürliches Gedanke dabei ist genau diese Menge zu der ersten Ableitung transfiniter Ordnung zu machen für Mengen zweiter Gattung. Cantor bezeichnet sie mit $P^{(\infty )}$. Darauf folgen die Ableitungen

$P^{(\infty +1)},\ P^{(\infty +2)},\ ...,P^{(2\infty )}=\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty +n)},\ P^{(3\infty )}=\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(2\infty +n)},...$

$P^{(\infty ^{2})}=\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty )},\ P^{(\infty ^{3})}=\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty ^{2})},\ ...,\ P^{(\infty ^{\infty })}=\bigcap \nolimits _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty ^{n})},\ ...$

Cantor schreibt:

...Durch consequentes Fortschreiten gewinnt man successive die weiteren Begriffe:

$\ P^{(n\infty ^{\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty +1})},\ P^{(\infty ^{\infty +n})},\ P^{(n\infty ^{n\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty ^{\infty })}}$

u.s.w.; wir sehen hier eine dialektische Begriffserzeugung, welche immer weiter führt und dabei frei von jeglicher Willkür in sich nothwendig und consequent bleibt...", ("Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, 2.", Math. Ann., 1880, Seiten 357-358).

In diesem nicht mal fünf Seiten langen Artikel zeichnet Cantor den so gut wie ganzen Weg, wie man aus den natürlichen Zahlen ein vollständiges transfinites System von Ordungszahlen entwickenln kann.

Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen

Um die natürlichen Zahlen in eine mengentheoretische Hierarchie einzubetten, verfährt man in der Mengenlehre folgendermaßen. Man nennt die leere Menge die Null der natürlichen Zahlenfolge. Jede weitere Zahl definiert man als die Menge der Zahlen, die schon definiert sind:

$0:=\emptyset$

$1:=\{0\}=\{\emptyset \}$

$2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$

$3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$

$4:=\{0,1,2,3\}\,$

...

$n+1:=n\cup \{n\}$

...

So definiert, sind die natürlichen Zahlen wohlgeordnet durch die Elementrelation ($n\in n+1$). Zum Beispiel hat die Zahl 4 die Elemente 0, 1, 2, 3, die als 0 < 1 < 2 < 3 geordnet werden. Man schreibt deshalb auch $4:=\{0<1<2<3\}$. Eine natürliche Zahl $a$ ist also kleiner als eine Zahl $b$ wenn $a$ ein Element von $b$ ist.

Für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen setzt man:

$\omega :=\mathbb {N} =\{0<1<2<3<...\}$

Die Existenz der Menge $\omega$ wird in dem Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert.

Motivation und Definition

Die Theorie der Ordinalzahlen ist eine Abstraktionstheorie, bei der von der "wahren Natur" der Mengenelemente abgesehen wird und nur solche Eigenschaften untersucht werden, die aus ihrer Anordnung abgeleitet werden können. Man definiert dazu:

Zwei total geordnete Mengen $(A,\leq _{A})$ und $(B,\leq _{B})$ heißen ordnungsisomorph oder ähnlich, wenn es eine Bijektion $f:A\to B$ gibt, so dass für alle $a,b\in A$ gilt:

Aus $a\leq _{A}b$ folgt $f(a)\leq _{B}f(b)$.

Die Abbildung $f$ heißt dann Ordnungsisomorphismus (siehe auch Isomorphismus). Die Gesamtheit aller zueinander ordnungsisomorphen Mengen stellt eine Äquivalenzklasse dar, die Ordnungstypus genannt wird.

Man kann zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu (genau) einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge die folgenden drei Aussagen äquivalent: 1.) Sie ist endlich. 2.) Die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung. 3.) Jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. Somit ist jede Ordinalzahl also spezieller Vertreter eines bestimmten Ordnungstypus. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von John von Neumann angegeben:

Eine Menge $S$ heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von $S$ auch Teilmenge von $S$ ist und $S$ bezüglich der Mengeninklusion „$\subseteq$“ total geordnet ist.^,

Eine solche Menge $S$ ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungssaxioms, welches besagt: Jede nichtleere Menge $S$ hat ein Element $a$, das disjunkt zu $S$ ist. Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Definition Ordinalzahlen. Zum Beispiel ist $2=\{0,1\}$ ein Element von $4=\{0,1,2,3\}$ und gleichzeitig eine Teilmenge. $\omega$ ist ebenfalls eine Ordinalzahl, die kleinste transfinite Ordinalzahl (größer als jede natürliche Zahl). Die Neumannsche Definition hat gegenüber der ersten Definition den Vorteil, dass sie aus der Sicht der Gundlagenforschung ein inerhalb der axiomatischen Mengenlehre eindwandfrei definiertes mengentheoretisches Objekt bestimmt.^, Jede wohlgeordnete Menge $X$ ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl, die man meistens mit ${\textrm {ord}}(X)$ oder ${\overset {\overline {X}}{\color {White}.}}$ bezeihnet.

Eigenschaften

Nach der von Neumanschen Definition sind die Elemente einer Ordinalzahl selbst Ordinalzahlen. Hat man zwei Ordinalzahlen $S$ und $T$, dann ist $S$ ein Element von $T$ genau dann, wenn $S$ eine Teilmenge von $T$ ist, und es gilt, dass entweder $S$ ein Element von $T$, oder $T$ ein Element von $S$, oder $S$ = $T$ ist. Damit sind Ordinalzahlen total geordnet bezüglich der Elementbeziehung. Es gilt sogar noch mehr:

Jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet.

Dies verallgemeinert das Wohlordnungsprinzip, dass jede Menge von natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist, und erlaubt die freie Anwendung der transfiniten Induktion und der Beweismethode des "unendlichen Abstiegs" auf Ordinalzahlen. Jede Ordinalzahl $S$ hat genau die Ordinalzahlen als Elemente, die kleiner sind als $S$. Die mengentheoretische Struktur einer Ordinalzahl ist also vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. Man benutzt diese Tatsache, um andere Aussagen zu beweisen, wie z. B., dass jede nichtleere Menge $S$ von Ordinalzahlen ein Supremum: ${\textrm {sup}}$ $S$ hat, nämlich die Vereinigung aller Elemente von $S$, welche selbst eine Ordinalzahl ist. Eine andere Folgerung ist der Satz, dass die Klasse aller Ordinalzahlen ${\textrm {On}}$ keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Der Beweis basiert auf dem Regularitätsaxiom, dass keine Menge sich selbst als Element enthält. Wäre ${\textrm {On}}$ eine Menge, dann wäre sie selbst eine Ordinalzahl, müsste sich also selbst enthalten. (Siehe auch das Burali-Forti-Paradoxon.) Aus dem Satz, dass ${\textrm {On}}$ eine echte Klasse ist, folgt, dass es Ordinalzahlen gibt, die größer sind als jedes Element von $S$. Unter den Ordinalzahlen größer als jedes Element von $S$ gibt es eine kleinste, die Limes von $S$ genannt und mit ${\textrm {lim}}$ $S$ bezeichnet wird. Man nennt die Ordinalzahl $s(\xi )={\textrm {lim}}$ $\{\xi \}$ Nachfolger der Ordinalzahl $\xi$. Falls $\xi$ ein größtes Element hat, dann wird dieses Vorgänger von $\xi$ genannt. Nicht jede Ordinalzahl hat einen Vorgänger (wie z.B. $\omega$). Man nennt eine Ordinalzahl, die einen Vorgänger hat (wie z.B. die $1$), isoliert (oder Nachfolgerzahl). Eine Ordinalzahl $\xi$ ist genau dann isoliert, wenn $\xi =s({\textrm {sup}}$ $\xi )$. Eine nichleere Ordinalzahl ohne Vorgänger wird Limeszahl (oder Grenzzahl oder Zahl zweiter Art) genannt. Eine nichtleere Ordinalzahl $\xi$ ist genau dann Limeszahl, wenn $\xi ={\textrm {sup}}$ $\xi$. Der Vorgänger von $s(\xi )$ ist für jede Ordinalzahl $\xi$ die Ordinalzahl $\xi$ selbst.

Rechenoperationen

Addition

Falls eine von zwei Ordinalzahlen die leere Menge ist, dann ist ihre Summe gleich die andere Ordinalzahl. Um die Summe zweier nichtleeren Ordinalzahlen $S$ und $T$ zu definieren, geht man so vor: Man benennt die Elemente von $T$ so um, dass $S$ und die umbenannte Menge $T^{(0)}$ disjunkt sind, und "schreibt $S$ links neben $T^{(0)}$", d. h. man vereinigt $S$ mit $T^{(0)}$ und definiert die Ordnung so, dass innerhalb von $S$ und $T^{(0)}$ jeweils die vorige Ordnung gilt und jedes Element von $S$ kleiner ist als jedes Element von $T^{(0)}$.^, Auf diese Weise wird die neue Menge wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl, die man mit $S+T$ bezeichnet. Diese Addition ist assoziativ und verallgemeinert die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen, man bezeichnet sie mit ω. Veranschaulichen wir uns die Summe $\omega +\omega$: Wir schreiben die zweite Kopie als $\{0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}<...\}$, dann haben wir

$\omega +\omega ={\textrm {ord}}(\{0<1<2<3<...<0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}<3_{(0)}<...\})$

Diese Menge ist nicht $\omega$, denn in $\omega$ ist die $0$ die einzige Zahl ohne Vorgänger, und $\omega +\omega$ hat zwei Elemente ohne Vorgänger ($0$ und $0_{(0)}$). Die Menge $3+\omega$ sieht so aus:

${\textrm {ord}}(\{0<1<2<0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}<3_{(0)}<...\})=\omega$

Wir haben also $3+\omega =\omega$. Dagegen ist

$\omega +3={\textrm {ord}}(\{0<1<2<3<...<0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}\})$

ungleich ω, denn $2_{(0)}$ ist das größte Element von $\omega +3$, aber $\omega$ hat kein größtes. Also ist die Addition nicht kommutativ. Man kann die Summe $\xi +\eta$ von zwei Ordinalzahlen $\xi$ und $\eta$ auch folgendermaßen definieren, wobei beide Definitionen in ZF äqivalent sind:

• falls $\eta =0$, dann sei $\xi +\eta =\xi$,
• falls $\eta$ isoliert ist und $\eta ^{-}$ der Vorgänger von $\eta$ ist, dann sei $\xi +\eta =s(\xi +\eta ^{-})$,
• falls $\eta$ eine Limeszahl ist, dann sei $\xi +\eta ={\textrm {sup}}\{\xi +\beta |\beta <\eta \}$.

Die Addition ist monoton. Das heißt: $\xi <\eta$${\ }^{\Rightarrow }$$\beta +\xi <\beta +\eta$ und $\xi$${\ }^{\leq }$$\eta$${\ }^{\Rightarrow }$$\xi +\beta$${\ }^{\leq }$$\eta +\beta$. Falls $\xi$${\ }^{\leq }$$\eta$, dann existiert eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl $\gamma$, so dass $\eta =\xi +\gamma$. Man nennt sie Differenz von $\eta$ und $\xi$ und bezeichnet sie mit $\eta -\xi$. Jede transfinite Ordinalzahl läßt sich auf genau einer Weise als Summe $\lambda +n$ von einer Limeszahl $\lambda$ und einer endlichen Ordinalzahl $n$ darstellen.

Multiplikation

Um zwei Ordinalzahlen $S$ und $T$ zu multiplizieren, schreibt man $T$ hin und ersetzt jedes Element von $T$ durch eine andere Kopie von $S$.. Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, die man mit $ST$ bezeichnet. Auch diese Verknüpfung ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen.

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

$\{0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}<...<0_{(1)}<1_{(1)}<2_{(1)}<...\}$

Man erkennt, dass ω·2 = ω + ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

$\{0_{(0)}<1_{(0)}<0_{(1)}<1_{(1)}<0_{(2)}<1_{(2)}<...\}$

und nach Umbenennen sehen wir, dass 2·ω = ω ist. Also ist auch die Multiplikation von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen: R(S+T) = RS + RT. Das kann man direkt aus den Definitionen ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht allgemein, denn z. B. ist (1+1)ω = 2·ω = ω, aber 1·ω + 1·ω = ω + ω.

Das neutrale Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Keine Ordinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Ordinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring. Die induktive Definition der Multiplikation lautet:

• falls $\eta =0$, dann sei $\xi \eta =\eta$,
• für jede Ordinalzahl $\eta$ sei $\xi (\eta +1)=\xi \eta +\xi$,
• falls $\eta$ eine Limeszahl ist, dann sei $\xi \eta ={\textrm {sup}}\{\xi \beta |\beta <\eta \}$.

Es gelten die Monotoniegesetze: $\xi <\eta$${\ }^{\Rightarrow }$${\ }^{\forall }$$\beta >0$ $(\beta \xi <\beta \eta )$ und $\xi$${\ }^{\leq }$$\eta$${\ }^{\Rightarrow }$$\xi \beta$${\ }^{\leq }$$\eta \beta$. Falls $\eta \gamma =\xi$, dann heißt $\eta$ linker Teiler von $\xi$ und $\gamma$ rechter Teiler. Man sagt auch, dass $\xi$ linkes Vielfache von $\gamma$ und rechtes Vielfache von $\eta$ ist. Die Limeszahlen sind die linken Vielfachen von $\omega$. Jede Ordinalzahl hat endlich viele rechte Teiler und nur dann endlich viele linke Teiler, wenn sie keine Limeszahl ist. Mengen aus positiven Ordinalzahlen haben kleinstes rechtes gemeinsames Vielfaches und größten rechten gemeinsamen Teiler. Für zwei Ordinalzahlen $\xi$ und $\eta >0$ existieren eindeutig bestimmte Ordinalzahlen $\beta$ und $\rho <\eta$, so dass $\xi =\eta \beta +\rho$.

Allgemeine Summe

Sei $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} ein Netz aus Ordinalzahlen mit Indexmenge die Ordinalzahl $\xi$. $\delta _{{S_{\gamma }}^{(\beta )}}$ seien die Ordnungsrelationen der Kopien ${S_{\gamma }}$^{$(\beta )$} für $\beta <\xi$. Die allgemeine Summe aller $(S_{i})$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} wird wie folgt definiert:

$\sum \nolimits _{\gamma <\xi }S_{\gamma }=\operatorname {ord} \left(\bigcup \nolimits _{\gamma <\xi }{S_{\gamma }}^{(\gamma )},\bigcup \nolimits _{\gamma }\delta _{{S_{\gamma }}^{(\gamma )}}\cup \bigcup \nolimits _{\gamma <\eta <\xi }({S_{\gamma }}^{(\gamma )}\times {S_{\eta }}^{(\eta )})\right)$

Die Multiplikation ist also ein Spezialfall der allgemeinen Summe:

$\xi \beta =\sum \nolimits _{\gamma <\beta }\xi$

Für jedes Ordinalzahlnetz $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} existiert genau eine Funktion: $F:\{\gamma |\gamma$${{\!}^{\leq }}$$\xi \}$$\rightarrow$${\textrm {On}}$ mit den folgenden drei Eigenschaften:

• $F(0)=0$
• $F(s(\beta ))=F(\beta )+S_{\beta }$ für jede Ordinalzahl $\beta <\xi$
• $F(\beta )={\textrm {sup}}$ _{${\eta <\beta }$} $F(\gamma )$ für jede Limeszahl $\beta$${{\!}^{\leq }}$ $\xi$

Der Wert $F(\xi )$ entspricht genau die allgemeine Summe von $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$}.

Allgemeines Produkt

Für ein Ordinalzahlnetz $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} sei

$P=\left\{x\in {\underset {\beta <\xi }{\mathbf {\times } }}{S_{\beta }}{\Big |}\operatorname {card} (\{\zeta <\xi |0<\pi _{\zeta }(x)\})<\aleph _{0}\right\},$ Vorlage:Mathsym

wobei

$\pi _{\zeta }:{\underset {\beta <\xi }{\mathbf {\times } }}{S_{\beta }}\rightarrow {S_{\zeta }}$

$(...,a,...)\mapsto a$

die Bezeichnung für kanonische Projektion ist. Man definiere in $P$ die Relation: ${\delta }_{P}^{*}=\left\{(x,y)\in P\times P{\Big |}\{\kappa <\xi |\pi _{\kappa }(x)<\pi _{\kappa }(y);\ \forall \eta (\kappa <\eta <\xi )(\pi _{\eta }(x)=\pi _{\eta }(y))\}\neq \emptyset \right\}$

Das allgemeine Produkt aller Elemente von $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} wird durch

$\prod _{\gamma <\xi }S_{\gamma }=\operatorname {ord} \left(P,\delta _{P}^{*}\cup \left\{(x,y)\in P\times P|x=y\right\}\right)$

definiert. Für jedes Ordinalzahlnetz $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$} existiert genau eine Funktion: $F:\{\gamma |\gamma$${{\!}^{\leq }}$$\xi \}$$\rightarrow$${\textrm {On}}$ mit den folgenden vier Eigenschaften:

• $F(0)=1$
• $F(s(\beta ))=F(\beta )S_{\beta }$ für jede Ordinalzahl $\beta <\xi$
• $F(\beta )={\textrm {sup}}$ _{${\eta <\beta }$} $F(\gamma )$ für Limeszahl $\beta$${{\!}^{\leq }}$ $\xi$ falls ${\!}^{\forall }$$\eta <\beta$ $(S_{\eta }>0)$
• $F(\beta )=0$ für Limeszahl $\beta$${{\!}^{\leq }}$ $\xi$ falls ${\!}^{\exists }$$\eta <\beta$ $(S_{\eta }=0)$

Der Wert $F(\xi )$ entspricht genau das allgemeine Produkt von $(S_{\gamma })$ _{$\gamma$ ${\!}^{\in }$ $\xi$}

Beispiel

Die Ordinalzahl $3$! ist ordnungsisomorph zu:

$(0,0,0)<(0,1,0)<(0,1,0)<(0,0,1)<(0,1,1)<(0,0,2)<(0,1,2)$

Potenzierung

Die Potenzen sind Spezialfälle von allgemeinen Produkten:

$\beta ^{\xi }=\prod \nolimits _{\gamma <\xi }\beta \,$

Beispiel

Man kann eine zu $\omega$^ω ordnungisomorphe Menge konstruiren, indem man (folgend die Produktdefinition) Folgen aus natürlichen Zahlen mit endlicher Anzahl von positiven Elementen betrachtet:

$({\overbrace {{\underbrace {a_{0},\ldots ,a_{n-1}} _{n\in \mathbb {N} }},\underbrace {0,\ldots ,0,\ldots } _{\overset {\shortparallel }{0}}} ^{\omega }})\in \omega \times \omega$

und diese antilexikografisch ordnet:

$(0,0,0,...)<(1,0,0,...)<...<(0,1,0,...)<(1,1,0,...)<...<(0,0,1,...)<(1,0,1,...)<...<(0,1,1,...)<(1,1,1,...)<(2,1,1,...)<...$

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Es gibt Ordinalzahlen, die nicht mit einer endlichen Anzahl von Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Potenzierung) von ω aus erreichbar sind. Die kleinste von ihnen nennt man ε₀. Sie ist immer noch abzählbar, aber es gibt auch überabzählbare Ordinalzahlen. Die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ist die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen, und wird mit ω₁ bezeichnet.

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Dieser Abschnitt wird momentan gründlich überarbeitet und kann deshalb auch Flüchtigkeitsfehler und Ungenauigkeiten enthalten.

Topologische Eigenschaften

Jede Ordinalzahl lässt sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen. In dieser Topologie konvergiert die Folge (0, 1, 2, ...) gegen ω, und die Folge (ω, ω^ω, ω^ωω, ...) konvergiert gegen ε₀. Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden. Im allgemeinen sind sie jedoch nicht Grenzwert einer Folge kleinerer Ordinalzahlen, wie z. B. die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ω₁.

Die topologischen Räume ω₁ und ω₁+1 werden in Büchern oft als Beispiel einer nicht abzählbaren Topologie genannt. Zum Beispiel gilt im Raum ω₁+1, dass das Element ω₁ im Abschluss der Teilmenge ω₁ liegt, aber keine Folge in ω₁ gegen das Element ω₁ konvergiert. Der Raum ω₁ erfüllt das erste, aber nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom und ω₁+1 keines von beiden.

Literatur

Bei Verwendung der von Neumannschen Defintion:

• Cohen, P., Set Theory and the Continuum Hypothesis, W. A. Benjamin Inc., New York, 1966, ISBN 978-0805323276

• Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935

• Hrbacek, K., Jech T., Introduction to Set Theory, Marcel Dekker Inc., New York, 1999, ISBN 0-8247-7915-0

• Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0122384400

Bei Verwendung von Ordnungsthypen:

• Klaua D., Kardinal- und Ordinalzahlen, Teil 2, Vieweg, Braunschweig, 1974, ISBN 3-528-06141-3

• Sierpinski W., Cardinal and ordinal numbers, 1965, ISBN 978-0900318023

• Kuratowski K., Mostowski A., Set theory , North-Holland, 1968, ISBN 978-0720404708

• Natanson I.P., Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk), Kapitel XIV., § 1-3.