Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion ist eine mathematische Funktion aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis der Gegenkathete (das ist jene Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse (also zur längsten Seite).

Ein Rechtwinkliges mit dem rechten Winkel in C

Ist c die Hypotenuse und liegt der Winkel α der Kathete a gegenüber, dann gilt:

\sin \alpha ={\frac {a}{c}}.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Die Sinus-Funktion kann nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen. In den Intervallen ]0°, 180°[, ]360°, 540°[, ]720°, 900°[, ... ist er positiv, sonst negativ.

Datei:Sin.png

Sinusfunktion

spezielle Funktionswerte

$\sin(0^{\circ })=\sin(0)=0$ (Nullstelle)
$\sin(90^{\circ })=\sin(\pi /2)=1$ (Maximum)
$\sin(180^{\circ })=\sin(\pi )=0$ (Nullstelle)
$\sin(270^{\circ })=\sin(3\,\pi /2)=-1$ (Minimum)

Danach ist er periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant), d. h. $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )$ .

Stellt man die Funktion graphisch dar, erhält man eine Sinuswelle. Dieses Verhalten kann auch sehr schön am Einheitskreis dargestellt werden.

weitere Funktionswerte

Eine Reihe einfach zu merkender und häufig verwendeter Werte:

$\sin(0^{\circ })={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$
$\sin(30^{\circ })={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$
$\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$
$\sin(60^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$\sin(90^{\circ })={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$

Eigenschaften der Sinusfunktion

\sin \left(\alpha \right)=\sin(\alpha +2\pi )

\sin \left(-\alpha \right)=-\sin(\alpha )

Zusammenhang mit Kosinus

\sin(\alpha )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)

\sin ^{2}\left(\alpha \right)+\cos ^{2}(\alpha )=1

(Satz des Pythagoras)

\sin ^{\prime }(\alpha )=\cos(\alpha )

(Ableitung des Sinus)

\int \sin(\alpha )\,{\rm {d}}\alpha =-\cos(\alpha )+C

(Stammfunktion des Sinus)

Zusammenhang mit den Arkusfunktionen

\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}

\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}

Anwendungsbeispiel

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von $h_{c}$ im Dreieck DBC bei gegebener Länge $a$ und Winkel β:

${\frac {h_{c}}{a}}=\sin(\beta )$

$h_{c}=a\cdot \sin(\beta )$

$h_{c}=5,\!4~{\rm {km}}\cdot \sin(44^{\circ })=3,\!751~{\rm {km}}$

Formale Betrachtung

Reihenentwicklung des Sinus

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots

Diese für jedes x konvergierende Potenzreihe erhält man auch als das Ergebnis der Taylorreihenentwicklung um 0. Zur näherungsweisen Berechnung des Sinus eignen sich endliche Teilsummen dieser Reihe. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben.

Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen können auch mit Hilfe der Exponentialfunktion definiert werden. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück, ergibt zum anderen die Eulerformel und erlaubt außerdem die Erweiterung des Sinus auf komplexe Argumente. Selbstverständlich kann man auch den Sinus wie oben definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Für eine komplexe Zahl z gilt:

\sin z\,=\,{\mbox{Im }}(e^{iz})={1 \over 2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)

.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Sinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen.

Herkunft des Namens

Die Bezeichnung "Sinus" leitet sich von dem lateinischen "sinus" ab, was soviel heißt wie "Bogen" oder "Busen". Das Wort ist mit "jiva" aus dem Sanskrit verwandt, wo es etwa "Bogensehne" bedeutet. Im Arabischen entwickelte sich das Wort zu "jiba": "Tasche" oder "Kleiderfalte".

Siehe auch