Diskussion:Lagrange-Punkte

Folgender Inhalt stand unter dem Stichwort Punkt L1 und kann gegebenenfalls in diesen Artikel eingearbeitet werden.

Der Lagrange-Punkt L1 ist der innere von fünf Gleichgewichtspunkten des Dreikörperproblems, wo sich die Anziehungskräfte zweier Himmelskörper aufheben. Nach den Forschungen zur Himmelsmechanik, die Lagrange zu Ende des 18.Jahrhunderts anstellte, ist die gegenseitige Bewegung dreier Körper nicht exakt berechenbar, wohl aber in der Nähe von 5 Gleichgewichtspunkten L1..L5 [Lagrange-Punkte] oder [Librationspunkte].

Im System Erde-Sonne liegt L1 genau auf der Verbindungslinie, 1.5 Millionen km von der Erde in Richtung Sonne; L2 wäre auf der äußeren Seite der Erde zu finden, L3 jenseits der Sonne. Die Punkte L4 und L5 liegen unter 60°.

L1 dient seit 1995 als "Basis" zur Sonnenbeobachtung. In seiner Nähe ist seit 1995 der Sonnensatellit SOHO mit einem Bündel von 12 Meßinstrumenten stationiert. Er umrundet L1 langsam in etwa 600.000 km Abstand.

Lage von L1 und L2

Letzter Kommentar: vor 19 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Im Punkt L1 auf der geraden Verbindungslinie von Erde und Sonne ist die Zentrifugalkraft gleich der Differenz der Gravitationskräfte der beiden Himmelskörper

m{\omega }^{2}r_{L}={\frac {GM_{S}m}{r_{L}^{2}}}-{\frac {GM_{E}m}{{(r_{E}-r_{L})}^{2}}}.

Wobei $r_{L},r_{E}$ die Abstände von L1 und der Erde zur Sonne sind.

Mit der Beziehung

{\omega }^{2}={\frac {GM_{S}}{r_{E}^{3}}}.

kann man schließlich ableiten

1=x^{3}-\left({\frac {M_{E}}{M_{S}}}\right){\frac {x^{3}}{{(x-1)}^{2}}},

wobei x als ${\frac {r_{E}}{r_{L}}}$ definiert wurde. Die Gleichung kann nicht elementar nach x aufgelöst werden. Die Berechnung von x kann jedoch auf die Berechung einer Nullstelle der Funktion

f(x)=x^{3}-\left({\frac {M_{E}}{M_{S}}}\right){\frac {x^{3}}{{(x-1)}^{2}}}-1

mit den Newton-Verfahren zurückgeführt werden.

Damit ergibt sich für x einen Wert von 1,01. Der Abstand von L1 zur Erde beträgt also etwa ein Prozent des Erdbahnradius oder 1,5 Millionen Kilometer.

Die Berechung der Lage von L2 ist vollkommen analog durchzuführen. Es ändert sich nur ein Vorzeichen, da jetzt die Gravitationskräfte von Erde und Sonne in die gleiche Richtung wirken. L2 ist ebenfalls etwa 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt.

Dieses Ergebnis kann auch näherungsweise durch Anwendung der Keplerschen Gesetze auf die Mond- und Satelittenbahnen in L1 oder L2 abgeleitet werden. Die Punkte L1 und L2 sowie der Mond umkreisen die Erde in Bezug auf die Fixsterne gesehen in einem Jahr bzw. in einem Monat. Das Verhältnis der Bahnradien von Mond und Satelitten folgt aus dem dritten Keplerschen Gesetz. Diese Berechnung führt nicht exakt zum korrekten Ergebnis da die Erdumlaufbahn eines Satelitten in L1 oder L2 erheblich durch den Einfluss der Sonne gestört sind.

Stabilität der Bahn in der Nähe von L1

Bewegt man sich in dem rotierenden Koordinatensystem auf der Verbindung L1 zu Planet in Richtung zum Planeten stehen Fliehkraft und Gravitationskräfte nicht mehr im Gleichgewicht und die Anziehung des Planten überwiegt. Falls die Probemasse sich in Richtung Sonne bewegt über wiegt die Anziehung der Sonne. Daher scheint der Schluss nahezuliegen, dass diese Lage instabil sei und nach einer kleinen Störung die Probemasse entweder in die Sonne oder auf den Planeten stürzt.

Dies ist jedoch völlig falsch. Ein Körper der sich auf der Verbindungslinie in dem mitrotierenden Koordinatensystem bewegt, ändert nämlich seinen Drehimpuls. Ein Crashkurs mit Sonne oder Planet würde die Drehimpulserhaltung verletzen. Der Körper erfährt im rotierten Koordinatensystem, neben der Fliehkraft, eine weitere Scheinkraft, die Corioliskraft, wenn er sich auf der Verbindungslinie bewegt, die ihn von dieser ablenkt.

Was heißt eigentlich stabil

Im Internet kursieren etliche Abhandlungen zur Stabilität der Lagrange-Punkte ohne das überhaupt klar wird, was eigentlich unter der Stabilität des Gleichgewichts zu verstehen sei. Falls man eine Bahn als stabil ansieht, sofern durch eine kleine Abweichung weder Sonne und Planet noch die Probemasse mit einem der anderen Himmelskörper kollidieren oder sich unbegrenzt weit von einander entfernen sind die Bahnen in der Nähe der Gleichgewichtspunkte L1 und L2 als stabil zu betrachten. Eine Kollision mit der Sonne oder eine wesentlich sonnennähere oder sonnenfernere Bahn widerspräche in jedem Fall Energie- und Drehimpluserhaltung. Eine Kollision mit dem Planeten wäre für Trojaner, also in der Nähe der der Punkte L4 oder L5 aber denkbar. L4 und L5 sind ganz in der Nähe der Umlaufbahn und die Störung durch den Planeten ist gering. Die Trojaner umlaufen den Jupiter also auf fast denkungsgleichen Bahnen. Wenn die Umlaufzeiten sich geringfügig unterscheiden wird der Trojaner den Jupiter oder umgekehrt der Jupiter den Trojaner irgendwann überholen, dabei kommt der Trojaner eventuell in der Nähe von L3 vorbei. Im Extremfall kommt es beim Überholen zum Crash oder der Trojaner bzw. ehemalige Trojaner wird als Mond eingefangen. Die Bahnen in der Nähe von L4 und L5 und auch L3 sind daher als extrem instabil zu bezeichnen. In L1 und L2 bleibt der Abstand zum Planeten nicht konstant es besteht aber keine Crashgefahr, da sich die Punkte im Phasenraum nahe einer stabilen Mondbahn befinden. --LAP5 12:28, 18. Aug 2006 (CEST)

nochmal: wenn du meinst, hier jedes detail in frage stellen zu müssen, dann erwarte ich auf von dir das du detailliertes wissen über die thematik hast... und die hast du nicht... hast du das kapitel aus dem buch, das ich dir geschickt habe gelesen? oder dich sonstwie über die thematik informiert? anscheinend nicht - ansonsten würdest du z.b. nicht schreiben, das die trojaner auf "fast deckungsgleichen bahnen" umlaufen - denn das ist falsch! stabilität: lies mal was zum thema nullgeschwindigkeitskurven... oder zum potential des eingeschränkten dreikörperproblems...--moneo d|b 14:30, 18. Aug 2006 (CEST) p.s. und was soll ein "punkt im phasenraum nahe einer stabilen mondbahn" sein???--moneo d|b 14:30, 18. Aug 2006 (CEST)

ich verstehe es sogar, und daher an LAP5 meine einfache Erklärung: "stabil" meint, dass ein Körper am lagrange-Punkt ohne Korrekturantrieb ewig sein kann. Daher finden sich an L1 un L2 keine Himmelskörper, sehr wohl jedoch an L3 und L4. SOHO hat daher Korrekturantriebe (er kreist 1x in 6mon um L1 von sonne/erde). --Ulfbastel 10:04, 1. Sep 2006 (CEST)

Bitte "stabiles" Gleichgewicht nicht mit einer stabilen Bahn gleichsetzen. Ein stabiles Gleichgewicht setzt nur ein (relatives) Minimum eines Energieprofils voraus. Diesem Energieprofil liegt das (mit dem Planeten mit-)rotierende Bezugssytem zugrunde.

Im übrigen befinden sich die Punkte L1/L2/L3 in labilen Gleichgewichten ("instabile" Gleichgewichte gibts nicht), die im dreidimensionalen Energieprofil Sattelpunkten entsprechen. Die Problematik für die Trojaner liegt darin, daß sie sich nicht exakt am Lagrange-Punkt befinden, sondern nur in seiner Nähe. Wenn sich L4/L5-Trojaner nicht zu weit vom Lagrange-Punkt entfernen, kreisen sie (im rotierenden Bezugssytem) nierenförmig um diesen Punkt. Entfernen sie sich zu weit, driften sie ab, zB in Hufeisenbahnen. Sowohl Trojanerbahnen als auch Hufeisenbahnen sind im Dreikörperproblem als "stabil" zu betrachten, auch wenn sie im Grenzfall in der Realität über lange Zeiträume hinweg chaotisch sind, also nicht berechenbar. Für L1/L2/L3-Trojaner ist Sache noch schwerer, da bereits eine winzige Ablenkung vom Lagrangepunkt weg führt. Und diese ist im Sonnensytem immer gegeben, da die Idealbedingungen für einen Lagrangepunkt real nicht gegeben sind (mehr als nur ein Dreikörperproblem, keine Punktmassen, keine verschwindende Masse des Trojaners, seine Inklination, ...). Daher SOHO's Korrekturantriebe, wie schon Ulfbastel sagte. --Gérard 23:31, 15. Okt. 2006 (CEST)Beantworten

Weblinks

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Versionsgeschichte von Punkt L1

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* (Aktuell) (Letzte)  . . 10:54, 26. Nov 2003 . . Geof

Wenn ich das richtig sehe, stand das alles schon drin. Hat sich damit wohl erübrigt. --Wolfgangbeyer 21:33, 21. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Der zweite Link www.winkler-berlin.de ist tot. Ist die Seite umgezogen, nur temporär nicht erreichbar oder ganz verschwunden? TTL 14:25, 4. Feb. 2007 (CET)Beantworten

Ok, den Link hat inzwischen jemand entfernt. War auch eben weiterhin nicht erreichbar. TTL 14:34, 18. Feb. 2007 (CET)Beantworten

Hallo anonymer Mitautor,

Ich habe deine Änderungen mit meinen umfrangreichen Änderungen überschrieben, da ich entweder unklare Sätze (wie in der Einleitung) schon selber in der Zwischenzeit verbessert habe oder deine Änderungen nicht ganz korrekt waren (wie der Name des James Webb Space Telescope das früher Next Generation Space Telescope hieß, wie auch dem Wikipediaartikel dazu entnommen werden kann) oder ich nicht so gut fand (wie den Begriff Sonnensatellit, statt Sonnenbeobachtungssatellit.)

Ich bin mir sicher, dass einige meiner umfangreichen Änderungen noch ein wenig Polierarbeit durch andere benötigen. Bitte entschuldige auch eventuelle von mir zu rigoros zurückgenommene Änderungen von dir. Arnomane 00:19, 13. Sep 2004 (CEST)

Ist es wirklich gut, hier einen ganzen Block des Artikels Trojaner eins zu eins übernommen zu haben? Sollte da nicht besser ein Link hinführen? IMHO haben Lagrange-Punkte eine allgemeinere Bedeutung als nur für die Astronomie (das ist dann ja die Anwendung (und der Auslöser der Forschung in der Richtung)). --Nightstalker 17:15, 21. Jun 2005 (CEST)

Gegenerde am Lagrange-Punkt L3

So wie ich das verstanden habe, bleibt ein Objekt doch nur dann am Lagrange-Punkt, wenn seine Masse "verschwindend gering" ist, oder? Das wäre ja bei einer "Gegenerde" nicht der Fall. Wären dann nicht beide Erden an einem instabilen Punkt, weil ja die "Gegenerde" die Erde genauso beeinflussen würde wie umgekehrt?

Ich kenne eine "Gegenerde" nur aus einem Urmel Buch. Da wurden Lagrange-Punkte komischerweise nicht weiter behandelt.

Grüße aus San Sebastian,

Oliver

Bei einer hypotetischen Gegenerde, die auf der Erdbahn genau gegenüber der Sonne umläuft, kann die Anziehung dieser beiden Planeten praktisch vernachlässigt werden. Die Anziehungskraft der Sonne wäre millionenfach größer und die Anziehung durch den Jupiter noch erheblich größer als die gegenseitige Anziehung. Entsprechend läge L3 fast genau auf der Erdbahn. Rein theoretisch wäre es natürlich denkbar, dass zwei Massen um ein Zentralgestirn derartig umlaufen. Aus Sicht eines der beiden umlaufenden Objekte ist damit die Anziehung durch das Zentralgestirn scheinbar minimal vergrößert. Die Gegenerde hätte folglich den gleichen Effekt wie eine minimale Zunahme der Sonnenmasse. Es ist jedoch kaum erklärbar wie ein Planet genau in den Punkt L3 gelangen sollte und auch noch exakt die passende Geschwindigkeit erhalten sollte, um dort zu verweilen.

Hallo, bezüglich des L3-Punktes fehlt noch die Beschreibung was sich derzeit dort befindet. Asteroid? Staubwolke? Habe aber leider nirgends einen Artikel gefunden in dem beschrieben wird ob dieser Punkt schonmal beobachtet wurde, jedoch bin ich mir dessen ziemlich sicher. Kann dort überhaupt etwas sein (wegen der Instabilität?)

nee da kann nichts sein weil instabil--Ulfbastel 10:14, 1. Sep 2006 (CEST)

Bezüglich der Instabilität sollte auch noch erwähnt werden, warum die Librationsbahnen um diese Punkte überhaupt instabil sind. mfg Matthias

die Bahnen um die Punkte sind aus dem gleichen Grund instabil wie es auch die Punkte L1, L2 und L3 selbst sind: verlässt eine Masse den Punkt bzw. seine Bahnebene, vergrößert sich die Gravitation auf ihn so, dass er nicht wieder zurück (wie bei L4 u nd L5), sondern noch weiter weggezogen wird. Dessen evtl. vorhandene Kreisbahn und Umlaufzeit verkleinert sich dabei und die Bewegung endet 100%ig mit einem Sturz auf einen der beiden großen Himmelskörper.--Ulfbastel 10:17, 1. Sep 2006 (CEST)

Co-Orbitale Monde

Ich habe noch die kleinen Co-Orbitalen Monde die sich in den Larangepunkten der Umlaufbahnen der großen Saturnmonde Dione und Tethys befinden als Beispiele für Himmeskörper in den L4 und L5 Punkten hinzugenommen, da sie bisher vergessen wurden. --Uwe W. 20:38, 14. Dez 2005 (CET)

Erdbegleiter

Im Abschnitt "Erdbegleiter" heisst es: "Es wurden bislang in den L4- und L5-Punkten des Erde-Sonne-Systems in den 1950ern Staubwolken gefunden." Die Kordylewskische Wolken in den L4- und L5-Punkten des Systems Erde-Mond sind mir bekann, aber gibt es tatsächlich Staubwolken in den L4/L5-Punkten des Systems Erde-Sonne? Gibt es Quellen dazu? --Vesta 15:02, 7. Jun 2006 (CEST)

Stabilität von L4 und L5

Letzter Kommentar: vor 18 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt

Die Bahn es „Trojaners“ in der Nähe von L4 und L5 kann in der Zweikörpernäherung (Sonne und Trojaner) berechnet werden. Da die Entfernungen der Körper identisch ist, ist das Verhältnis der Beschleunigungen durch Planet und Sonne gleich dem Massenverhältnis und daher maximal (Jupiter) ein Promille. Weicht der Trojaner geringfügig von dieser Bahn (Geschwindigkeit und Position) ab, läuft er entweder schneller oder langsamer um als der Planet. Seine Lage relativ zum Planeten wird sich daher verschieben. Das Gleichgewicht ist also labil und nicht stabil.

Wenn ich es richtig sehe, ist das Dreieck nicht gleichseitig sondern nur gleichschenklig.

Beweis für den Fall des gleichseitigen Dreiecks

Wir betrachten drei Massepunkte $m_{i}$ mit i=1,2,3. Sei $M=\sum _{i=1}^{3}m_{i}$ die Summe der drei Massen, die Kreisfrequenz $\omega ={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}$ und R der konstante Abstand der drei Massen.

Exemplarisch kann das Gravitationsgesetz für den Massenpunkt 1 aufgestellt werden woraus sich die Zentrifugalkraft ${\frac {1}{m_{1}}}{\vec {F}}_{z}=\omega ^{2}{\vec {r}}_{1}$ ergibt.

{\frac {G}{R^{3}}}\sum _{i=1}^{i=3}m_{i}({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{i})={\frac {1}{m_{1}}}{\vec {F}}_{z}=\omega ^{2}{\vec {r}}_{1}

Im Schwerpunkt gilt $\sum _{i=1}^{i=3}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0$ . Der Summand nur für i=1 ist null und wurde zur Vereinfachung hinzugenommen. Der Faktor ${\frac {1}{R^{3}}}$ kann nur als Konstante vor die Summe geschrieben werden, weil alle Abstände identisch sind. Die drei Massen drehen sich folglich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Ist eine Masse wesentlich kleiner als die beiden anderen, liegt der Schwerpunkt annähernd auf der Verbindungslinie der beiden anderen. Diese Lösung ist jedoch instabil, d.h. nach einer kleinen Störung bleibt das gleichseitige Dreieck nicht bestehen. Es ist bei dieser Herleitung wesentlich, dass alle Massenpunkte in einer Ebene liegen, da sonst die Zentrifugalkraft nicht mehr in alle Fällen parallel zum Ortsvektor ist. Eine entsprechende Lösung existiert daher für vier Massenpunkte, die einen Tetraeder bilden, nicht mehr. Es handelt sich einen in der Realität niemals auftretende Speziallösung, die auch nur für zwei oder drei Massenpunkte denkbar ist.

die stabilität bzw. instabilität der lagrangepunkte ist hier sehr schön und detailliert beschrieben... also bitte, liebe IP, lies und rechne dir das erstmal durch, bevor du wieder deine seltsamen theorien postest...--moneo d|b 15:20, 12. Jun. 2007 (CEST)Beantworten

Ach – daher kommen all diese merkwürdigen Abbildungen. Die Darstellung ist völlig übertrieben kompliziert und daher praktisch nicht nachvollziehbar. Die Sache ist aber im Grunde ganz einfach. Wie oben dargelegt braucht eigentlich nur die Wechselwirkung der Sonne mit Trojaner und Planet (zwei unabhängige Zweikörperprobleme) berücksichtigt werden, weil in L4/L5 die Anziehung der Sonne mindestens 1000-fach stärker ist. In dieser Näherung ist sofort klar, dass die Lösung nicht derart "stabil" ist, dass der Winkelabstand von Planet und Trojaner gleich bleibt. Der Trojaner läuft bei einer kleinen Abweichung entweder etwas langsamer oder schneller um und wird daher vom Planeten überholt oder holt umgekehrt den Planeten langsam ein. Ein genauere Berechnung ist unsinnig, weil dann konsequenter Weise nicht nur Trojaner und Planet sondern auch die anderen Planeten berücksichtigt werden müssen und zudem sich die Planetenbahnen in Wahrheit keine Kreise (siehe Kepler-Gesetze). 84.59.49.249 22:34, 12. Jun. 2007 (CEST)Beantworten