Diskussion:Delta-Distribution

Der Artikel sagt selbst, der bevorzugte name ist Delta-Distribution, habe den Artikel (Vorher Delta-Funktion) deshalb verschoben.--Jdiemer 22:41, 14. Sep 2004 (CEST)

Dimension

Es sollte noch etwas zur Dimension (Einheit) der Delta-Distribution gesagt werden, z.B. dass sie die reziproke Dimension des arguments ist.--Jdiemer 23:11, 14. Sep 2004 (CEST)

Koordinatentransformation und Skalierung

Bei der sogenannten Hintereinanderausführung sollte das Integral weggelassen werden (vgl. engl. Wikipedia):

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

Warum genau? Identitäten mit Delta-Funktionen sind "richtiger", wenn die Integralzeichen stehen gelassen werden, denn dann kann man $\int \delta \bullet$ als Schreibweise für die Distribution ansehen. -Roland 14.Oktober 2004

Vorher war das nur für $\phi =1$ richtig, da gingen die Funktionswerte der Testfunktion and den Nullstellen ein bißchen unter. So wie das jetzt dasteht, ist es jedenfalls besser.

Daraus folgt, daß bei der Skalierung die Betragsstriche vergessen wurden:

$\delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)$

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Please translate this into French and add it to the article. It seems that someone unfair rewrote "Japanese definition" with lie.

Japanese definition

Dirac delta function $\delta :\mathbb {R} \ni \xi \mapsto \delta (\xi )\in \delta (\mathbb {R} )\subset \mathbb {R}$ is a distribution whose image $\delta (\xi )$ is homeomorphic to the function $h:\mathbb {R} \ni \xi \mapsto {\frac {1+{\rm {sgn}}\xi }{2}}\in \mathbb {R}$ and satisfies the integral equation as follows:

$\int _{-\infty }^{x}\delta (t)dt=h(x)$    ${\rm {for}}\ \ \forall x\in \mathbb {R}$ .

Homogen

Der Link von homogen führt auf eien Seite, die Homogenität aus anderen Fachbereichen und nicht aus der Mathematik beschreibt. Ich halte den Link daher für verwirrend und schlage vor, ihn zu entfernen.

Brigitte 20.9.05

Man könnte das zu homogen (Mathematik) verbessern, aber dort gibt es auch keine Erklärung.--Gunther 14:12, 20. Sep 2005 (CEST)

Delta vs. Dirac

Sicher, dass der Dirac-Impuls nicht eine über 0 zentrierte Delta-Distribution und damit ein Spezialfall ist? So habe ich das gelernt. --Phrood 09:55, 9. Okt 2005 (CEST)

Auch die Delta-Distribution ist um 0 zwentriert... Dirac-Impuls ist nur ein anderer Name. Aber natürlich lässt sich ein Dirac $\delta (x)$ (also um 0 zentriert) wie jede andere Funktion verschieben, indem man das Argument ändert/verschiebt (also aus x wird x-a): So ist z.B. $\delta (x-a)$ ein um a verschobener Dirac-Impuls, also eine über a zentrierte Delta-Distribution.--Jdiemer 10:48, 9. Okt 2005 (CEST)

Ach, stimmt ja. Die Tatsache, dass die Distibution mit (x-a) beschrieben wurde, hatte mich verwirrt. --Phrood 11:19, 9. Okt 2005 (CEST)

Darstellungen

Laut Bronstein (Taschenbuch der Mathematik, 5. Auflage): 21.12.3, Nr. 14 (S.1111) gehört in der ersten Gleichung nach der Überschrift Darstellung in den Exponenten der e-Funktion noch ein Minuszeichen oder es müsste heißen ...e^(ik(a-x))dk

Würde ein - nicht nur bedeuten, dass die Funktion unterm Integral an der y-Achse gespiegelt ist? Das wäre jedoch bei integration über die gesamte Achse (von -∞ bis +∞) egal. Somit wäre beide Darstellungen gleichwertig. --Jdiemer 23:10, 4. Mär 2006 (CET)

Eigenschaften

Die Eigenschaft $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1$ bekommt man sicher nicht durch einsetzen von $\phi =1$, da dieses $\phi$ weder eine Testfunktion oder eine Schwartzsche Funktion (schnell falled) ist und somit gar nicht im Definitionsbereich der Delta-Distribution liegt. --Filip

Distributionen mit kompaktem Träger setzen sich eindeutig auf den Raum aller $C^{\infty }$-Funktionen fort.--Gunther 00:58, 3. Sep 2006 (CEST)

Wie kommt man überhaupt darauf, dass $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1$ gilt? Wenn ich mir dieses $\delta (x)$ ansehe, dann frage ich mich, ob man überhaupt integrieren kann, bzw. ob das Integral nicht 0 ist. --The-viewer 16:33, 11. Nov. 2006 (CET)

Das ist kein Integral, sondern eine rein formale Schreibweise.--Gunther 10:21, 14. Nov. 2006 (CET)

Kritik 2. 9. 2006

Ich habe mit dem ganzen Artikel, so wie er jetzt ist, ein Problem. Es wird zwar im Text darauf hingewiesen, dass es sich um eine Distribution handelt, aber der Artikel lässt sich überhaupt nicht in die Theorie der Distributionen einbetten. Die Definition der Delta-Distribution muss lauten: $\delta (\phi )=\phi (0)$ Dabei ist $/phi$ eine Testfunktion aus dem Schwartz-Raum D. Das geht nirgendwo aus dem Artikel hervor. Im gesamten Text wird mit $\delta$ gearbeitet, als wäre es eine "Funktion", was ja bekanntlich nicht stimmt. Es gibt aber eben auch keinen Ausdruck der Form $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$ Weil keine solche Funktion $\delta (x)$ existiert. Die Integralausdrücke im Artikel sind in der Distributionentheorie sinnlos und nicht erklärt. Man müsste das ganze nochmal (vgl. Artikel Distribution) im Kontext der Distributionentheorie einbetten. Was bis jetzt im Artikel steht, ist - sagen wir mal - sorgloser Umgang mit mathematischer Exaktheit, wie ihn die Physiker betreiben. Nicht lachen, bin selber einer ... --GER.dd.gerry 15:02, 2. Sep 2006 (CEST)

Die exakte Definition steht (zugegebenermaßen etwas unvollständig, weil der Raum der Testfunktionen nicht definiert wird) im Abschnitt "exakte Definition".--Gunther 15:29, 2. Sep 2006 (CEST)

Ich denke es sollten auf alle Fälle der Raum der glatten Funktionen mit kompakten Träger und der schnell fallenden Funktionen als Tesfunktionen vorgestellt werden. Dann sollte auch erklärt/motiviert werden "warum" man diese Räume nimmt. Zusätzlich kann erwähnt werden, dass man selbstverständlich auch andere Räume als Testfunktionen nehmen kann (sogesehen verallgemeinerte Distributionen). Man muss nur aufpassen, dass man bei anderen Räumen nicht zu viele Eigenschaften verliert und der Distributionenraum nicht zu klein wird. --Filip 18:57, 2. Sep 2006 (CEST)

Das gehört mMn alles nach Distribution (Mathematik).--Gunther 22:55, 2. Sep 2006 (CEST)

Stimmt, Du hast Recht. Ich habe ganz vergessen, dass der Artikel existiert. --Filip 00:06, 3. Sep 2006 (CEST)

Kritik Physikalische Interpretation/Mathematische Definition

Ich glaube, dass der Artikel in seiner jetzigen Form in sich widersprüchlich ist. Leider begegnet einem dieser Widerspruch in vielen Darstellungen des Delta-Funktionals.

Die physikalische Interpretations als punktförmige Ladungs- oder Massenverteilung steht im Widerspruch zur mathematischen Definition. Als Ladungsverteilung kann ich mir die Delta-Distribution nur vorstellen, wenn sie jedem Punkt im Raum genau einen Ladungswert zuordnet. Am Punkt Null ist der Wert unendlich. Ansonsten ist der Wert null. Der Begriff Distribution deutet auf diese Interpretation hin, denn Distribution bedeutet in der Regel nichts anderes als Verteilung. Damit ist die Distribution eine eindeutige Zuordnung, d.h. eine Funktion.

Die mathematische Definition lässt allerdings eine solche Interpretation nicht zu, denn laut Artikel ist die Delta-Distribution gar keine Funktion. Danach ist die Delta-Distribution durch die Zuordnungsvorschrift definiert: $\phi \mapsto \phi (0)\qquad \forall \phi$. Diese Zuordnungsvorschrift stellt zwar auch eine Funktion dar - noch ein Widerspruch. Allerdings kann man sie nicht als Verteilung interpretieren. Die Interpretation als Verteilung, über die integriert werden kann, wird mathematisch nicht zugelassen. Denn das Lebesgue-Integral über derjenigen Funktion ist Null, deren Funktionswert am Nullpunkt unendlich und ansonsten überall gleich Null ist. Das steht wiederum im Widerspruch zur Forderung: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1$

Die einzig befriedigende Auflösung dieser Widersprüche scheint mir zu sein, das Integral nicht als Lebesgue-Integral sondern als "Dirac-Integral" oder "Dirac-Maß" zu interpretieren. Deshalb bin ich an einer solchen Darstellung interessiert. Digamma hatte angedeutet, dass er sich damit auskennt. --Kilian Klaiber 12:54, 6. Jun. 2007 (CEST)

Vielleicht sollte es besser heißen "Die Integration über eine δ-Funktion liefert 1, Integration über eine δ-Funktion multipliziert mit einer Funktion f liefert den Funktionswert von f an der Stelle 0. Eine Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, existiert nicht. Obwohl diese Schreibweise nicht richtig ist, wird die δ-Funktion zwecks Anschaulichkeit oft als Integraloperator dargestellt."

Bei der physikalischen Interpretation kann ich Dir nicht ganz folgen. Ich habe die δ-Funktion in diesem Zusammenhang immer als die Verteilung einer Punktladung/Punktmasse interpretiert, die aufgrund ihrer unendlich hohen Konzentration in einem Punkt dort unendlich hohe Dichte hat. Diese Interpretation passt sehr gut zur mathematischen Definition. --Drizzd 19:31, 6. Jun. 2007 (CEST)

"Ich habe die δ-Funktion in diesem Zusammenhang immer als die Verteilung einer Punktladung/Punktmasse interpretiert, die aufgrund ihrer unendlich hohen Konzentration in einem Punkt dort unendlich hohe Dichte hat." Stimmt, und die Gesamtladung (=1) ergibt sich durch Integration über der Verteilung. Dann schreibst du "Eine Funktion, die diese Bedingung erfüllt, existiert nicht." Also existiert die Verteilung einer Punktladung nicht. Gleichwohl wird das Dirac-Delta so behandelt, als ob es eine solche Verteilung darstellt. Das ist ein Widerspruch in sich.--Kilian Klaiber 20:25, 6. Jun. 2007 (CEST)

Es geht hier eben nur um die Anschauung. Man kann die Verteilung einer Punktladung auch mathematisch exakt darstellen, indem man sich beispielsweise des Diracmaßes bedient. Das ist aber nicht so bequem. Ich betrachte die Delta-Funktion einfach als "schlampige" Schreibweise, die auch nicht zu Missverständnissen führt, solange klar ist, was eigentlich gemeint ist. In der reinen Mathematik dürfte man der δ-Funktion in dieser Form wohl kaum begegnen. --Drizzd 11:57, 7. Jun. 2007 (CEST)

"Es geht hier eben nur um die Anschauung." Tja, und die Anschauung steht nun mal aus physikalischer Sicht an erster Stelle. Das Delta-Funktional ist ja von einem Physiker eingeführt worden, um eine Punktladung zu beschreiben. "In der reinen Mathematik dürfte man der δ-Funktion in dieser Form wohl kaum begegnen." Das mag sein, in der "reinen Mathematik" habe ich auch kein Problem mit der Definition. Mir geht es darum, dass die mathematische Definition - so wie sie jetzt ist - die physikalische Anschauung ausschließt. Das ist das Problem. Die mathematische Definition ist so simpel, die kann man jedem halbwegs mathematisch Vorgebildetem erklären. Die Abbildung, die einer Testfunktion den Funktionswert an der Stelle Null zuordnet. Auf den Standpunkt kann man sich als Mathematiker stellen. Als Physiker reicht das nicht aus. Zusätzlich muss man rechtfertigen, weshalb man damit eine Punktladung beschreiben kann. Der Artikel in seiner derzeitigen Form lässt diese Interpretation jedenfalls nicht zu!!--Kilian Klaiber 15:42, 7. Jun. 2007 (CEST)

Realisierbare Messungen sind Integrale über die Ladungsdichte. Deshaln kann und muss man Distributionen für die Beschreibung der Ladungsdichte zulassen. --Pjacobi 15:47, 7. Jun. 2007 (CEST)

Ist das ein physikalisches Argument? "Deshaln kann und muss man Distributionen für die Beschreibung der Ladungsdichte zulassen." Das sehe ich genauso. Die Dirac-Funktion wird nunmehr seit ihrer Einführung durch den Physiker und Nobelpreisträger Paul Dirac im Jahre 1930 erfolgreich zur Beschreibung von punktförmigen Verteilungen verwendet. Ich habe deshalb auch keinen Zweifel daran, dass diese Interpretation korrekt ist. Leider steht diese Interpretation scheinbar im Widerspruch zu der hier präsentierten mathematischen Definition. --Kilian Klaiber 16:10, 7. Jun. 2007 (CEST)

Ich sege den Widerspruch nicht. Die Dirac-"Funktion" beschreibt die Ladungsverteilung, sie ist eine Distribution, jede realisierbare physikalische Messung ist eine Faltung mit einer Testfunktion und ergibt deswegen eine wohldefinierte c-Zahl. Die Quantenfeldtheorie benutzt die gleiche Sprache. &phi(x) ist eine operatorwerige Distribution, etc, ... --Pjacobi 16:51, 7. Jun. 2007 (CEST)

"Die Dirac-"Funktion" beschreibt die Ladungsverteilung, sie ist eine Distribution," Hier muss ich schon halt machen. Eine Ladungsverteilung ordnet jedem Punkt im Raum einen Wert (Ladungsdichte) zu. Eine Distribution bildet eine Testfunktion auf einen Körper ab. Eine reguläre Distribution kann mit einer gewöhnlichen Funktion identifiziert werden, nämlich einer Funktion, über die integriert wird. Die Dirac-Distribution ist keine reguläre Distribution, d.h. sie kann nicht mit einer Verteilung identifiziert werden, über die integriert wird. Das ist jedenfalls die gängige Lesart. Da gibt es eindeutig einen Widerspruch, schau noch mal genauer hin.--Kilian Klaiber 20:39, 7. Jun. 2007 (CEST)

Nein. Die Ladungsverteilung ist keine Observable, deswegen kann sie eine Distribution sein. --Pjacobi 01:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

Nein. Die Ladungsverteilung ist keine Observable... Habe ich das behauptet? Dazu habe ich mich gar nicht geäußert. Mir scheint, wir reden hier von unterschiedlichen Gegenständen. Ich meine den Begriff Distribution, wie er im mathematischen Sinne definiert ist. Lies Dir den Thread durch. Da ist das Problem erklärt. --Kilian Klaiber 09:39, 8. Jun. 2007 (CEST)

physikalische Interpretations als punktförmige Ladungs- oder Massenverteilung <=> Wie klein auch das Messgebiet um den Punkt gewählt wird, es wird immer die gesamte Ladung gemessen <=> Mathematische Definition $\delta _{x}(f)\,=\,f(x)$

Nun, jetzt nähert er sich langsam dem Problem. Nur stellt die Delta-Distribution keine punktförmige Ladungsverteilung dar. Es wird auch nicht eine Messung um den Punkt durchgeführt. Diese Vorstellungen sind nach mathematischer Lesart allesamt falsch. Denn es gibt eine solche Ladungsverteilung nicht. Das ist das Problem.--Kilian Klaiber 10:26, 8. Jun. 2007 (CEST)

Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Meine Blickwinkel ist: Ladungsverteilungen sind in der Physik Distributionen, denn sie ordnen jeder Messung (die eine Faltung mit einer Testfunktion ist, punktförmige Messungen gibt es nicht) eine c-Zahl zu. Deswegen können auch idealierte Ladungsverteilungen betrachtet werden, die sich nicht als Funktionen schreiben lassen. --Pjacobi 10:38, 8. Jun. 2007 (CEST)

Dann reden wir wirklich aneinander vorbei. Denn ich rede von der punktförmigen Ladungs- oder Massenverteilung wie sie unter "Anschauliche Definition" in diesem Artikel definiert ist. Allerdings sehe ich nicht, dass du die Delta-Distribution als Faltung mit einer Testfunktion darstellen kannst. Das geht nicht, denn es ist eine irreguläre Distribution. --Kilian Klaiber 10:44, 8. Jun. 2007 (CEST)

Die anschauliche Definition scheint mir der Tribut an den berüchtigten Oma-Test zu sein, aber auf keinen Fall eine physikalische Interpretation. --Pjacobi 10:55, 8. Jun. 2007 (CEST)

Da irrst du Dich. Das ist die gängige physikalische Interpretation. Mir scheint implizit benutzt auch du diese Interpretation. Aber immerhin hast Du den Widerspruch jetzt wahrgenommen. --Kilian Klaiber 11:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

Zitat:

Dabei ist $\,\delta (k-k')$ die sogenante Diracsche δ-Funktion mit den Eigenschaften:

• $\,\delta (k-k')=0$ für $k\neq k'$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k-k')f(k')\,\mathrm {d} k'=f(k)$

Mathematisch ist $\,\delta (k-k')$ keine vernünftige Funktion sondern eine Distribution. Der freie Gebrauch der δ-Funktion hier und im folgenden, als ob sie eine sinnvolle Funktion wäre, lässt sich mathematisch korrekt in der Distributionen begründen.

Aus: Grawert, Quantenmechanik, ISBN 3-400-00025-6

Kein Wort von :$\delta (0)=\infty$!

Pjacobi 11:30, 8. Jun. 2007 (CEST)

Kein Wort von :$\delta (0)=\infty$! Na und? Welchen Wert schlägst du denn vor? Das ist die übliche Einführung in Büchern zur theoretischen Physik. Erst wird die Funktion anschaulich definiert. Dann wird gesagt, dass das nicht stimmt. Zum Schluss wird einfach weiter so getan als ob es eine Funktion sei. Sehr unbefriedigend. Die Mathematiker stecken vor dem Problem einfach den Kopf in den Sand, indem sie sagen, die Delta-Distribution ist ein Funktional, das einer Funktion den Funktionswert an der Stelle Null zuordnet. Wieso ist dadurch der "freie Gebrauch" gerechtfertigt? --Kilian Klaiber 13:24, 8. Jun. 2007 (CEST)

Nein es ist eben nicht die übliche Einführung. Manche Bücher mögen so vorgehen, manche nicht. --Pjacobi 13:34, 8. Jun. 2007 (CEST)

Du kannst Dir ja mal eine Reihe Bücher zur Theoretischen Physik besorgen. Diejenigen Bücher, die die Delta-Funktion diskutieren, gehen in der Regel so vor. Beispiel Nolting 3 Elektrodynamik. Außerdem widersprichst Du Dir selbst. Oben hast Du gesagt, dass sei keine physikalische Interpretation. Dann zitierst du sogar aus einem Physik-Buch, in dem genau diese Interpretation diskutiert wird. --Kilian Klaiber 13:42, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo? Habe ich nicht gerade ein Beispiel genant?

Und: Es ist keine physikalische Interpretation, es ist eine Veranschaulichung. Die Physik kommt gut ohne sie aus, aber nicht alle Studenten.

Pjacobi 13:50, 8. Jun. 2007 (CEST)

Mein Gott, erkennst Du nicht, dass das genau das gleich ist? Setze f(k)=1, dann hast du die Veranschaulichung. Überlege Dir welchen Wert Delta haben musst, damit dass Integral nicht notwendigerweise Null wird (nämlich unendlich). Die Darstellung als Faltung ist aus mathematischer Sicht, ich sage es zum wiederholten Male, falsch, falsch, falsch. Und jetzt reichts mir.--Kilian Klaiber 13:54, 8. Jun. 2007 (CEST)

Punktmaß

Die Delta-Distribution lässt sich durch ein Maß $\mu _{0}$darstellen, nämlich durch ein Punktmaß, das im Punkt 0 konzentriert ist. Damit könnte man die Formeln auch formal richtig als Integrale schreiben: $\int \phi (x)\delta (x)\,dx=\int \phi (x)\,d\mu _{0}(x)$

Sollte man das noch anfügen?--Digamma 12:41, 15. Jan. 2007 (CET)

Das finde ich sehr interessant. Bitte mehr darüber im Artikel--Kilian Klaiber 11:46, 29. Mai 2007 (CEST)

Siehe Diracmaß. Ist auch im Artikel verlinkt. --Drizzd 20:27, 29. Mai 2007 (CEST)

Mesa-Darstellung

Habe schwirigkeiten damit. ist die Formel so richtig? Ich kann zeigen, dass das Integral darueber immer <0 ist. Das widerspricht doch obiger Definition. http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution Artikel

Ich habe das gelöscht. Es ergibt tatsächlich keinen Sinn. --Digamma 14:44, 8. Jun. 2007 (CEST)

@Kilian Klaiber

Hallo Kilian,

da Du meinen Namen ins Spiel gebracht hast, von mir ein Versuch der Klärung.

Ein wichtiger Punkt ist, zu unterscheiden zwischen physikalischer Realität und mathematischer Modellierung. In der physikalischen Realität gibt es weder Ladungsdichten noch Punktladungen. Beides sind allerdings mathematisch nützliche Konzepte.

Ladungsdichten treten z.B. in den Maxwellschen Gleichungen auf. Punktladungen im Coulombgesetz und in der Definition der elektrischen Feldstärke als Quotient von Kraft und Ladung einer Probeladung. Beides sind also sehr sinnvolle Formen der mathematischen Modellierung.

Das Problem ist nun, dass die beiden nicht verträglich sind. Denn eine Punktladung besitzt keine Ladungsdichte. Man könnte zwar die Dichte so definieren, dass sie außerhalb des Punktes den Wert 0 hat, in dem Punkt selbst aber den Wert unendlich. Das ergibt sich z.B., wenn man die Dichte im Punkt p als Limes r gegen 0 von Gesamtladung im Ball B(p,r) geteilt durch Volumen des Balls definiert. Soweit so gut. Das ergäbe dann die berühmte "delta-Funktion", die überall den Wert 0 hat, aber im Punkt 0 den Wert unendlich.

Nur: Man kann mit dieser Dichte nicht viel anfangen. Man kann aus ihr z.B. nicht die Gesamtladung in einem Raumgebiet mittels Integration berechnen, denn das Integration über die "delta-Funktion" ergibt immer Null.

Aber was gravierender ist: Für diese "Ladungsdichte" gelten auch die Maxwellschen Gleichungen nicht. Denn das Coulomb-Potenzial ist im Nullpunkt nicht definiert und schon gar nicht differenzierbar.

Deshalb muss man die Konzepte modifizieren. Statt nur Ladungsdichten muss man allgemeinere Formen der "Ladungsverteilung" zulassen und man braucht eine mathematische Formulierung der Maxwellschen Gleichungen (und anderer), die solche allgemeineren Ladungsverteilungen zulassen. Die allgemeineren Ladungsverteilungen werden mathematisch durch sogenannte Distributionen modelliert (im Fall der Punktladungen würde auch der einfachere Begriff des signierten Maßes ausreichen), die Geltung der Differenzialgleichungen wird "im schwachen Sinn", "im Sinn von Sobolev" bzw. "im Sinn von Distributionen" verstanden.

Das ist mathematisch natürlich schwieriger als "Dichtefunktionen", deshalb tun sich viele Physiker damit erstmal schwer, zumindest finden sie es unanschaulich. Deshalb greifen sie, zumindest der Anschauung halber, lieber auf obige "delta-Funktion" zurück, statt auf die sinnvollen Begriffe, und schicken die Einschränkungen mit, dass man mit dieser "Funktion" aber nicht so rechnen kann, wie man das von Funktionen gewohnt ist. --Digamma 14:02, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Digamma,

danke für den Beitrag. "Nur: Man kann mit dieser Dichte nicht viel anfangen. Man kann aus ihr z.B. nicht die Gesamtladung in einem Raumgebiet mittels Integration berechnen, denn das Integration über die "delta-Funktion" ergibt immer Null." Genau das ist mein Problem - und nicht nur meines. Mir kommt es so vor als ob man auf einer Leiter (Ladungsverteilung) hinaufsteigt und wenn man oben ankommt die Leiter wegwirft. Dann befindet man sich gedanklich im freien Fall.

Inwiefern die Distributionen - nach der mir bekannten Definition - eine Verallgemeinerung der Ladungsverteilungen darstellen, ist mir unverständlich. Für mich ist die mathematische Definition der Distribution einfach: Eine stetig lineare Abbildung von einem Funktionenraum in einen Körper. Der Funktionenraum ist auf gewisse "Testfunktionen" eingeschränkt.

Ich habe überhaupt keine Probleme mit der Definition. Wenn ich von jeglicher Anschauung absehe, dann kann ich damit sehr gut umgehen. Ich habe die Definition verstanden, denn das ist ganz einfach. Allerdings ist die vermeintlich falsche Anschauung als punktförmige Verteilung in der Physik ja nicht folgenlos. In dieser Bedeutung wird das Delta-Funktional verwendet und zwar erfolgreich. Beispiel, weil du von Maxwellgleichungen sprichst: Nolting Band 3 Elektrodynamik, s. 49. Zur Beschreibung der Ladungsdichte einer Punktladung wird das Delta-Funktional verwendet. Aber das ist doch mathematisch falsch. Es kann doch nicht mathematisch falsch und physikalisch richtig sein. Beides zugleich geht nicht. Diesen Widerspruch hat mir noch niemand aufgelöst.--Kilian Klaiber 15:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

"Inwiefern die Distributionen - nach der mir bekannten Definition - eine Verallgemeinerung der Ladungsverteilungen darstellen, ist mir unverständlich." Wenn Du "Ladungsverteilung" schreibst, dann meinst Du "Ladungsdichte", oder? Verteilungen sind aber viel allgemeiner. Eben z.B. auch Punktladungen.

Distributionen (das Wort bedeutet ja nichts anderes als "Verteilung"), sind insofern Verallgemeinerungen von Dichtefunktionen, als dass (1) Jede Dichtefunktion Anlass zu einer Distribution gibt, und (2) Jede Distribution in einem geeigneten Sinn Grenzwert einer Folge von durch Dichtefunktionen gegebenen Distributionen ist.

Konstrukte wie die "Delta-Funktion" entstehen, wenn man den Grenzübergang zu naiv macht: als punktweisen Limes der Dichtefunktionen.

"Wenn ich von jeglicher Anschauung absehe, dann kann ich damit sehr gut umgehen." Klar. Für den Mathematiker kein Problem. Aber wenn man Physik betreibt, dann möchte man doch eine Form der Anschauung haben. Man möchte einen Zusammenhang mit dem haben, wie man sich die betrachtete physikalische Situation vorstellt. Und man möchte einen Bezug zu ähnlichen physikalischen Situationen.

Beispiel: Eine kleine geladene Kugel und eine Punktladung sind physikalisch sehr ähnliche Objekte (letzteres in der Regel nur eine Idealisierung von ersterem). Dann sollte doch auch zwischen den mathematischen Beschreibungen (hier Dichtefunktion - dort Punktmaß) ein Zusammenhang bestehen. Besteht ja auch.

"Allerdings ist die vermeintlich falsche Anschauung als punktförmige Verteilung in der Physik ja nicht folgenlos."

Die Anschauung als punktförmige Verteilung ist nicht falsch. Falsch ist nur die Vorstellung einer Dichtefunktion. Die Folgen entstammen somit auch nicht einer falschen Vorstellung, sondern der mathematisch richtigen Interpretation (bzw. Verallgemeinerung) z.B. der Maxwell-Gleichungen.

(Ich kenne die von Dir zitierte physikalische Literatur nicht).--Digamma 15:25, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Digamma,

das war jetzt ein super Beitrag von Dir. Vielen Dank. Gemeint war tatsächlich Ladungsdichte. "Die Anschauung als punktförmige Verteilung ist nicht falsch. Falsch ist nur die Vorstellung einer Dichtefunktion." Das muss ich nochmal sacken lassen. --Kilian Klaiber 15:38, 8. Jun. 2007 (CEST)

So, jetzt habe ich eine Nacht drüber geschlafen. Ich denke an einem Faden hängt das ganze: Was ist der Unterschied zwischen der "Ladungsdichte" und der "Ladungsverteilung"?

Wenn es darauf hinausläuft, dass Ladungsdichte eine Funktion f:R->R ist (R relle Zahl), während eine Verteilung eine Funktion D:f->R (f=Testfunktion), dann sind wir keinen Deut weiter. Dann ist der anschauliche Begriff Verteilung einfach durch den mathematischen Begriff Distribution ersetzt worden.

Das mit der Verallgemeinerung ist schon hakelig aber aufschlussreich.

"(1) Jede Dichtefunktion Anlass zu einer Distribution gibt"; das verstehe ich so: eine sogenannte reguläre Distribution kann mittels einer "Dichtefunktion=stetige Funktion f:R->R" konstruiert werden. Aber eine Dichtefunktion ist keine Distribution und vice versa. Die Schnittmenge zwischen den Dichtefunktionen und Distributionen ist null. Das ist also eine ganz spezielle Form der Verallgemeinerung.

"(2) Jede Distribution in einem geeigneten Sinn Grenzwert einer Folge von durch Dichtefunktionen gegebenen Distributionen ist." Der Raum der Distributionen ist vollständig?, egal: Es gibt Distributionen, die nicht regulär sind. Sie lassen sich nicht mittels Dichtefunktionen ausdrücken. Sie stellen aber Grenzwerte von Folgen von regulären Distributionen dar. Beispiel: Die Delta-Distribution. --Kilian Klaiber 13:30, 9. Jun. 2007 (CEST)