Potentialtheorie

Die Potentialtheorie behandelt die mathematisch-physikalischen Grundlagen von konservativen Kraftfeldern. Man nennt sie auch die Theorie wirbelfreier Vektorfelder. Sie gilt gleichermaßen für das elektrische Feld und das Gravitationsfeld.

Die Potentialtheorie ist ein Grundlagenfach von Hochschulstudien für Physik, Elektrotechnik, Geodäsie und anderer Geowissenschaften. Erste Anfänge des heutigen Lehrgebäudes gehen auf Gauß und George Green zurück.

Wichtige Inhalte sind das Potential und seine Ableitungen, Gravitations- und elektrische Felder, Newtonsches Potential, Legendrefunktionen und Randwertaufgaben. Ebenso lassen sich in der Fluiddynamik (Aerodynamik und Hydrodynamik) Strömungsfelder als Potentialfeld beschreiben, sowie viele Vorgänge in der Atomphysik.

Die Potentialtheorie baut darauf auf, dass zu jedem konservativen Vektorfeld ein skalares Potentialfeld existiert, dass also in jedem Punkt das Vektorfeld ${\vec {a}}({\vec {r}})$ durch den Gradienten des Potentialfeldes $\Phi ({\vec {r}})$ gemäß

${\vec {a}}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})$

gegeben ist. Bildung der Divergenz von ${\vec {a}}$ führt im N-dimensionalen Fall zur Laplace-Gleichung

$\Delta \Phi =\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}\Phi =0$.

Da für alle Potentialfelder ${\mbox{rot grad}}\Phi ({\vec {r}})=0$ ist, gilt insbesondere

${\mbox{rot}}\,{\vec {a}}={\vec {0}}$.

Die Rotationsfreiheit eines Feldes kann deshalb als notwendiges Kriterium für die Existenz eines Potentials benutzt werden.

Somit gilt:

$F=\Phi +i\Psi \wedge {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}=0$ $(F,z\in \mathbb {C} )$

Dies führt somit direkt zu der Funktionentheorie und den konformen Abbildungen und den Möbius-Transformationen (s. a. Kutta-Schukowski-Transformation).

Literatur

• S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey: Harmonic Function Theory (2nd edition). Springer-Verlag, 2001, ISBN 0387952187.
• Oliver Dimon Kellogg: Foundations of Potential Theory. Dover Publications, 1967, ISBN 0486601447 (nur mehr als Taschenbuch erhältlich).
• Karl Ledersteger: Astronomische und Physikalische Geodäsie. JEK Handb.d.Vermess. Band V, 871 p., Verlag J.B.Metzler, Stuttgart 1969 (Theoreme und Schwerefeld, Gleichgewichtsfiguren und Prinzip der Entblätterung, Isostasie usw.).
• Rudolf Sigl: Einführung in die Potentialtheorie, Wichmann-Verlag, ~1980.