Potenzreihe

Eine Potenzreihe - ein Begriff aus der Mathematik - hat im Allgemeinen die Form

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

$a_{n}$ sei hierbei eine beliebige Folge.
Bei Potenzreihen lässt sich durch die Formel von Cauchy-Hadamard der Konvergenzradius $r$ der Potenzreihe berechnen, d.h. die Werte von $x$-$x_{0}$, für die die Reihe konvergiert. Es gilt:
$r={\frac {1}{\limsup({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}})}}$

$|x-x_{0}|<r\Rightarrow$ die Potenzreihe ist absolut konvergent

$|x-x_{0}|>r\Rightarrow$ die Potenzreihe ist divergent

$|x-x_{0}|=r$ ist jeweils separat zu untersuchen.

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle $x_{0}$ ist die kleinste Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $|x-x_{0}|<r$ konvergiert.