Raumzeit

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einem einheitlichen vierdimensionalen Gebilde verschmolzen, in dem die räumlichen und zeitlichen Koordinaten bei Transformation in andere Bezugssysteme gegeneinander vermischt werden können. Zwar lässt sich ein absolut gültiger Abstandsbegriff für Raumzeitpunkte ("Ereignisse") definieren, jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters abhängig, was davon als räumlicher und zeitlicher Abstand erscheint.

In der Speziellen Relativitätstheorie werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten (x,y,z) um eine Zeitkomponente ict erweitert, also (x,y,z,ict). Dieses Koordinatensystem kennzeichnet die Raumzeit. Die Zeitkomponente wird als komplexe Zahl dargestellt. Kennzeichen einer komplexen Zahl mit rein imaginärem Anteil wie ict ist, dass ihr Quadrat negativ ist. Im Falle von ict ist das Quadrat -c²t². Bewegt sich ein Bezugssystem gegenüber einem Beobachter beispielsweise in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v, so erscheinen die Koordinaten in diesem System zu dem Originalsystem in der x-ict-Ebene gedreht, und zwar um den Winkel

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Die x-Koordinate ist daher um den Faktor $cos\alpha$ verkleinert (Längenkontraktion), eine zusätzliche Zeitkomponente mit dem Faktor $sin\alpha$ tritt hinzu (Zeitdilatation). Ein Teil der Raumkomponente ist also in die Zeitkomponente übergegangen. Der vierdimensionale Abstand (Wurzel der Summe aller Quadrate der Koordinaten) beträgt in beiden Bezugssystemen $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}}$ und bleibt daher konstant (das Minuszeichen ergibt sich aus der komplexen Eigenschaft von ict). Für Licht, das sich vom Ursprung mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, gilt für alle Zeiten und Bezugssysteme r=0. Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie.

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (x,y,z,ict) in der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die nichteuklidischen Geometrien. Die Koordinatenachsen sind hier gekrümmt. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise keine Gerade mehr. Sie wird Geodäte genannt, im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.