Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium (d'Alembert-Kriterium, nach Jean Baptiste le Rond d'Alembert) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Sei eine unendliche Reihe

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben.

Falls nun

$\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1$

ist, so konvergiert die Reihe S, und das sogar absolut, d.h. die Reihe der Beträge konvergiert. Dieses Kriterium folgt mit dem Majorantenkriterium aus Eigenschaften der geometrischen Reihe.

Existiert jedoch ein Index N sodass

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$

für alle $n\geq N$, so divergiert die Reihe, da die Glieder dann keine Nullfolge bilden können.

In allen anderen Fällen lässt sich nichts über die Konvergenz aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ für $\alpha \geq 1$machen, da $\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$, aber $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }<1$. Für $\alpha =1$ ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für $\alpha >1$ konvergent; das Quotientenkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

Die Konvergenzbedingung mit dem limsup lässt sich auch so formulieren:

Falls eine Konstante C < 1 und ein Index N existieren, so dass

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq C$

für alle n ≥ N, dann konvergiert die Reihe S.

Ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d.h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

$|S-S_{N}|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\right|\leq |a_{N+1}|{1 \over 1-C}$.

Beweis

Da sich das Konvergenzverhalten einer Reihe nicht ändert, wenn man endlich viele Summanden abändert, kann man für den Beweis auch $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq C<1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ annehmen. Aus der vollständigen Induktion von $\left|a_{n}\right|\leq C\left|a_{n-1}\right|$ folgt $\left|a_{n}\right|\leq C^{n}\left|a_{0}\right|$. Die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }C^{n}\left|a_{0}\right|$ ist daher Majorante von $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ und konvergiert, da sie eine Geometrische Reihe ist:
$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{0}\right|C^{n}=\left|a_{0}\right|\sum _{n=0}^{\infty }C^{n}={\left|a_{0}\right| \over {1-C}}$.
Nach dem Majorantenkriterium konvergiert damit auch $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$.

Abgewandeltes Quotientenkriterium

Neben dem "gewöhnlichen" Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen (siehe auch Kriterium von Raabe):

Für Konvergenz

Sei $(a_{n})$ eine Folge mit echt positiven Gliedern. Wenn nun gilt, dass:

$\exists d>1,n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}:{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq 1-{\frac {d}{n}}$

so gilt:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ist konvergent.

Für Divergenz

Es sei $(a_{n})$ wie oben. Wenn nun gilt, dass:

$\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0}:{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$

so gilt:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ divergiert gegen $\infty$.

Anwendungen

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen für die Exponentialfunktion und für die Sinus- und Kosinusfunktionen zeigen.

Literatur

• O. Forster: Analysis I Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Hamburg 1976.