Reguläre Primzahl

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie eine gewisse Teilbarkeitseigenschaft erfüllt. E. Kummer konnte zeigen, dass der große fermatsche Satz für Exponenten, die durch eine reguläre Primzahl teilbar sind, wahr ist.

Definition

Eine Primzahl $p>2$ heißt regulär, wenn sie keine der Bernoulli-Zahlen $B_{2},B_{4},\ldots ,B_{p-3}$ teilt (d.h. wenn die Zähler dieser Zahlen in vollständig gekürzter Darstellung nicht durch $p$ teilbar sind).

Man kann zeigen, dass diese Bedingung äquivalent ist zur folgenden: Eine Primzahl heißt regulär, wenn die Klassenzahl des $p$-ten Kreisteilungskörpers nicht durch $p$ teilbar ist.

Eigenschaften

Es ist bekannt, dass es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt. Die kleinsten irregulären Primzahlen sind 37, 59, 67 (Folge A000928 in OEIS). Es ist unbekannt, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt (Folge A007703 in OEIS); man vermutet, dass $\mathrm {e} ^{-1/2}\approx 61\%$ aller Primzahlen regulär sind.

Anwendung auf den großen Satz von Fermat

Es sei $p$ eine reguläre Primzahl, und es gelte $a^{p}+b^{p}=c^{p}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $a,b,c$, wobei keine der Zahlen $a,b,c$ durch $p$ teilbar sei (diese Bedingung wird "Fall I" genannt). Bezeichnet $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel, so lässt sich die linke Seite der Gleichung faktorisieren als

$(a+b)(a+\zeta b)(a+\zeta ^{2}b)\cdots (a+\zeta ^{p-1}b),$

und man kann zeigen, dass diese Faktoren paarweise teilerfremd sind. Da ihr Produkt $c^{p}$ eine $p$-te Potenz ist, sind auch die einzelnen Faktoren $p$-te Potenzen von Idealen im Ganzzahlring ${\mathcal {O}}$ des Kreisteilungskörpers $\mathbb {Q} (\zeta )$, insbesondere also

$(a+\zeta b)={\mathfrak {a}}^{p}.$

An dieser Stelle kann nun die Regularität von $p$ verwendet werden: Die $p$-te Potenz dieses Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist ein Hauptideal, also ist auch ${\mathfrak {a}}$ selbst ein Hauptideal, d.h. es gibt eine Einheit $u$ und ein Element $t\in {\mathcal {O}}$, so dass

$a+\zeta b=u\cdot t^{p}$

gilt. Diese Aussage kann durch Kongruenzbetrachtungen modulo $p$ zum Widerspruch gebracht werden.

Weblinks

• Ausführlicher Beweis des großen fermatschen Satzes für reguläre Primzahlen (PDF)