Benutzer:BroyJoerg/Herleitung Trägheitsmoment n-seitige Pyramide

Herleitung des Trägheitsmoments einer regelmäßigen Pyramide

Bei der Berechnung des Trägheitsmomentes einer regelmäßigen geraden Pyramide treten immer wieder Schwierigkeiten auf. Denn mit wachsender Seitenzahl der Pyramide werden auch die Integrationsgrenzen für das Volumen immer komplexer. Dieses Problem kann aber umgangen werden, wenn zunächst nicht über das Volumen der gesamten Pyramide integriert wird, sondern nur über ein Teilstück. Denn jede n-seitige Pyramide lässt sich in n dreiseitige Pyramidenstücke zerlegen, ähnlich der Aufteilung eines Kuchens in Kuchenstücke (siehe Skizze). Berechnet man das Trägheitsmoment seines solchen Stückes und multipliziert es dann mit der Seitenzahl der Pyramide, erhält man so das Trägheitsmoment der gesamten Pyramide.

Dieses Vorgehen soll im Folgenden allgemein für eine n-seitige Pyramide demonstriert werden. Die daraus resultierende Formel eignet sich zur Berechnung des Trägheitsmomentes jeder regelmäßigen geraden Pyramide.

Vorgehen bei der Herleitung:

1. Festlegung der Volumen-Integrationsgrenzen des Pyramidenstückes

2. Aufstellung und Ausrechnen der Formel für das Trägheitsmoment des Teilstückes

3. Bestimmung des Trägheitsmomentes der n-seitigen Pyramide in Abängigkeit von der Masse m

Legende:

r...Radius des Umkreises um die Pyramidengrundfläche

l...Kantenlänge der Grundfläche der Pyramide

n...Anzahl der Pyramidenseiten

α = 2π/n

d = r sinα

h...Höhe der Pyramide (z-Richtung auf der Skizze)

1. Die Integrationsgrenzen des Teilstücks:

in z-Richtung: $\int _{0}^{h}$

in y-Richtung: $\int _{0}^{{\frac {r\sin {\alpha }}{h}}z}$

in x-Richtung: $\int _{{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}^{{\frac {r}{h}}z-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}$

2. Das Trägheitsmoment des Teilstücks:

Die allgemeine Formel zur Berechnung eines Trägheitsmomentes kann in folgender differentieller Form angegeben werden:

Datei:Formel1c.gif

In diese Formel werden nun die oben gefundenen Integrationsgrenzen für das Pyramidenstück mit dem Trägheitsmoment I$_{\mathrm {teil} }$ eingesetzt:

Datei:Formel2c.gif

Nun wird das Dreifach-Integral ausgerechnet. Man beginnt mit der Integration von $(x^{2}+y^{2})$ nach x und setzt dort dann die Integrationsgrenzen in x-Richtung ein:

Datei:Formel4c.gif

Als nächstes wird nach y integriert, dann die entsprechenden Integrationsgenzen eingesetzt und ${\frac {r^{4}\sin {\alpha }}{h^{4}}}$ ausgeklammert; im zweiten Schritt wird der Term zusammengefasst:

Datei:Formel5c.gif

Datei:Formel6c.gif

Zuletzt wird noch nach z integriert, die verbleibenden Integrationsgenzen eingesetzt und zusammengefasst. Somit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Pyramidenstückes:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle I_\{teil}= r^4 \sin{\alpha} h \frac{1}{60}(2+\cos{\alpha})} (1)

3. Das Trägheitsmoment der Pyramide:

Die bisher erhaltene Formel gibt das Trägheitsmoment eines Pyramidenstücks in Abhängigkeit von der Dichte ${\varrho }$ an. Benötigt wird aber in der Regel das Trägheitsmoment in Abhängigkeit von der Masse $m$. Wir erhalten diese über die Beziehung $m=\varrho V$. Es wird also noch das Volumen $V_{\mathrm {teil} }$ des Pyramidenstücks benötigt. Zur Berechnung von $V_{\mathrm {teil} }$ dienen wieder die bereits verwendeten Integrationsgrenzen:

Datei:Formel8c.gif

Nach dreimaliger Integration und Einsetzung der Integrationsgrenzen erhalten wir:

Datei:Formel9c.gif

Nun kann in (1) ${\varrho }$ durch ${\frac {m_{\mathrm {teil} }}{V_{\mathrm {teil} }}}$ ersetzt werden:

$I_{\mathrm {teil} }={\frac {m_{\mathrm {teil} }}{{\frac {1}{6}}r^{2}h\sin {\alpha }}}r^{4}\sin {\alpha }h{\frac {1}{60}}(2+\cos {\alpha })$

Diese Gleichung zusammengefasst und mit $n$ multipliziert, ergibt das Trägheitsmoment $V_{\mathrm {nPy} }$ einer n-seitigen Pyramide:

Datei:Formel11c.gif