Parallelität (Geometrie)

In der Euklidischen Geometrie definiert man:

• Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden. Häufig wird außerdem jede Gerade „zu sich selbst parallel“ genannt.

Häufig wird von parallelen Geraden gesagt, dass sie sich „im Unendlichen“ schneiden. Diese Aussage bekommt einen präzisen Sinn, wenn der euklidische Raum zu einem projektiven Raum erweitert wird.

Im euklidischen Raum gilt ferner:

• Zwei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, werden windschief genannt. (Auch sie haben keinen Schnittpunkt, sind aber nicht parallel.)
• eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn sie diese nicht schneidet.
• zwei (verschiedene) Ebenen sind parallel, wenn sie einander nicht schneiden. Man spricht von Parallelebenen.

Analoge Sprechweisen gelten für euklidische und affine Geometrien in beliebiger Dimension und für die analytische Geometrie (die Geometrie in euklidischen Vektorräumen). Insbesondere sind zwei Geraden in einem Vektorraum parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig (oder proportional) sind.

Eigenschaften

In der euklidischen und affinen Geometrie gilt:

• Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade, die zur gegebenen Geraden parallel ist und durch den gegebenen Punkt geht (die Parallele durch diesen Punkt).

Diese Aussage wird das Parallelenaxiom genannt, da sie bei einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie als Axiom benötigt wird. In der analytischen Geometrie (Geometrie in euklidischen Vektorräumen) ist sie hingegen beweisbar (also ein Satz).

• Die Beziehung „parallel“ zwischen Geraden bildet (wenn man die Selbst-Parallelität hinzunimmt) eine Äquivalenzrelation, die Geraden lassen sich also aufteilen in Klassen (oder „Büschel“) aus untereinander parallelen.
• Fügt man einer affinen Geometrie für jedes dieser Parallelenbüschel einen "unendlich fernen" Punkt (als Schnittpunkt des Büschels) hinzu, erhält man eine projektive Geometrie.

In der euklidischen Geometrie gilt ferner:

• Bei parallelen Geraden g und h ist der Abstand aller Punkte von g zur Geraden h konstant (und umgekehrt), die Geraden sind also immer gleich weit voneinander entfernt. Entsprechendes gilt für parallele Ebenen.

Nichteuklidische Geometrie

Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Forderung

Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es mindestens zwei Geraden durch den Punkt, welche die gegebene Gerade nicht schneiden,

so erhält man eine nichteuklidische Geometrie, nämlich die hyperbolische.

Verwandte Begriffe

Die Idee des parallelen Verlaufs wird auch in anderen Situationen verwendet, wobei meist die Charakterisierung durch den konstanten Abstand übertragen wird.

• Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt um einen "konstanten Betrag in dieselbe Richtung" verschoben

(in Vektorräumen: $x\mapsto x+a$).

• Eine Parallelkurve zu einer ebenen Kurve erhält man, indem man in jedem Punkt der Kurve einen konstanten Betrag in Richtung der Normalen in diesem Punkt aufträgt

(für eine Kurve $\gamma (s)\in \mathbb {R} ^{2}$ sind das die Kurven $\gamma (s)\pm an(s)$, wenn $n(s)$ der normierte Normalvektor zu $\gamma (s)$ ist).

(Beispiel: konzentrische Kreise)

• Einen Parallelkörper zu einem (abgeschlossenen) konvexen Körper erhält man, wenn man den Körper "um r vergrößert", d.h., alle Punkte hinzufügt, deren Abstand kleiner oder gleich r ist, indem man die Vereinigung aller Kugeln mit Radius r bildet, deren Mittelpunkt in dem Körper liegt.

(In Vektorräumen: $K+B_{r}=\{x+y\mid x\in K,y\in B_{r}\}$, wobei $B_{r}=\{y\mid \left\|y\right\|\leq r\}$ die Kugel mit Radius r um den Ursprung ist.)

• Vektoren, welche genau in die entgegengesetzte Richtung zeigen, sind antiparallel.

Siehe auch

Andere Bezeichnungen für Lagebeziehungen von Geraden sind:

• kopunktal
• orthogonal
• komplanar