Heisenbergsche Bewegungsgleichung

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung entspricht der zeitlichen Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung (oder auch in der Heisenberg-Darstellung der Quantenmechanik). Sie wurde von Werner Heisenberg in den 20er Jahren entwickelt.

Die Bewegungsgleichung selbst lautet

${d{\hat {A}} \over dt}={\partial {\hat {A}} \over \partial t}+{i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {A}}]$

wobei ${\hat {H}}$ der Hamilton-Operator des Systems und $[{\hat {H}},{\hat {A}}]\equiv {\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}$ ist.

Sofern ${\hat {A}}$ nicht explizit zeitabhängig ist, das heißt ${\partial {\hat {A}} \over \partial t}=0$, so genügt ${\hat {A}}(t)={\hat {U}}(t)^{\dagger }{\hat {A}}(0){\hat {U}}(t)$ der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, wobei ${\hat {U}}(t)^{\dagger }$ der zu ${\hat {U}}(t)$ adjungierte Operator ist.

Der Operator ${\hat {U}}(t)$ der zeitlichen Entwicklung genügt der Gleichung ${d{\hat {U}} \over dt}=-(i\hbar ){\hat {H}}{\hat {U}}$ und gleicht für nicht explizit zeitabhängige ${\hat {H}}$

${\hat {U}}(t)=e^{-{i \over \hbar }{\hat {H}}t}$

Siehe auch Wellenmechanik