Skalengesetz

Unter den Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen (englisch scaling laws) versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

$f(x)=a+bc^{x}$,

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

$f(x)=a+bx^{c}$,

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen (englisch power laws), wobei a, b und c reelle Konstanten darstellen. Power laws sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirische gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich u. a. auch darin, dass

$x(t)=ce^{t}$

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

${\dot {x}}=x$

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt. (z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.)

Beispiele

Statistik

Benfords Gesetz

besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ziffern der ersten Stelle von Häufigkeitszahlen, die aus natürlichen Verteilungen gewonnenen wurden, der Beziehung f_D = log(1+1/D) genügt. D. h., in gut 30% aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle, in 17% die 2 usw.

Biologie

Die Beziehung zwischen Metabolismusrate U und Körpermasse M

auch »Gesetz der Stoffwechselreduktion«, »Gesetz der Reduktion spezifischer Stoffwechselraten« oder Allometrie genannt: $U=aM^{b}$ mit $b<1$

...

Physik

Stefan-Boltzmann-Gesetz

...

1/f-Rauschen

...

Linguistik

Zipfsches Gesetz

...

Internet

Wikipedia

Interessanterweise bringen selbstorganisierende Systeme, wie die Wikipedia spontan exponentielle Skalenbeziehungen hervor. Ein zwanglos zu entdeckendes Beispiel ist z. B. die Beziehung zwischen der Anzahl der toten Links und der Anzahl der auf sie zeigenden Verweise. Nach dem Stand von Mitte April 2003 begann die Liste der gewünschten Artikel mit 16 Verweisen auf Pressefreiheit.

Setzt man die Anzahl N_g der gewünschten Artikel mit der Anzahl g von toten Verweisen in Beziehung, ergibt sich:

$N_{g}\approx 1,7^{17-g}$,

was in grafischer, halblogarithmischer Darstellung so aussieht:

Hierbei ist zu beachten, dass die Darstellung bei gewünschten Artikeln mit 5 Verweisen willkürlich gekappt wurde. Eine numerische Extrapolation würde eine Menge von 1684 noch nicht existierender Artikel mit nur 3 Verweisen vorhersagen, 2862 mit 2 und 4866 mit nur einem Link. In der Summe $\sum _{i=1}^{16}1,7^{17-i}/i$ ergibt das (theoretische) 7340 noch nicht existierende, aber referenzierte Links. Da ist ja noch einiges zu tun... ;-)

Weblogs

Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken auf bereits schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter [1].

Wirtschaftswissenschaften

Pareto-Verteilung

...

Siehe auch

Skaleninvarianz, Skalenfreies Netz