Kreis des Apollonios

Kreis des Apollonios (auch Apollonischer Kreis oder Kreis des Apollonius)

Die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen bestimmten (positiven) reellen Wert hat, ist im Allgemeinen ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird (nach Apollonios von Perge).

Formale Definition: Gegeben seien zwei Punkte A und B der Zeichenebene und eine positive reelle Zahl $\lambda \neq 1$. Dann ist

$k_{A}=\{X|{\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda \}$

der Kreis des Apollonios zu den Punkten A und B und zum Streckenverhältnis $\lambda$.

Bei den eingezeichneten Punkten $T_{i}$ und $T_{a}$ handelt es sich um den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke [AB] im Verhältnis $\lambda$. Für einen beliebigen Punkt X auf dem Kreis halbiert die Verbindungsgerade $XT_{i}$ den Winkel AXB. Die Verbindungsstrecke $XT_{a}$ halbiert den zugehörigen Nebenwinkel und ist somit senkrecht zu $XT_{i}$.

Im speziellen Fall $\lambda =1$ ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.