Achilles und die Schildkröte

Achilles und die Schildkröte bezeichnet ein Paradoxon von Zenon von Elea. Achilles der unbesiegbare griechische Held mißt sich im Wettrennen mit einer Schildkröte. Weil sie um so vieles langsamer ist, beispielsweise $9 \over 10$ weniger als die Geschwindikeit Achilles ( $v(achill)$ ),

$v(achill)-{\frac {9}{10}}v(achill)={\frac {1}{10}}v(achill)=v(schildkroete)$

gibt er ihr einen großen Vorsprung, beispielsweise 90 Meter. Beide starten. Achilles läuft 10 mal so schnell. Nachdem er 90 Meter gelaufen ist, ist die Schildkröte 9 Meter gelaufen und liegt vorn. Nach weiteren 9 Metern ist sie wieder, diesmal 90 cm vorn, nach 90 Zentimetern nur noch 9 cm, aber sie liegt vorne, und solange Achilles auch läuft, sie läuft weiter und liegt immer noch vorn, denn welche Strecke Achilles auch läuft, die Schildkröte ist während seiner Laufzeit um $1 \over 10$ seiner Laufstrecke vorgerückt. Achilles holt also die Schildkröte nie ein.

Nun unsere kulturhistorisch neuzeitliche Betrachtung und Herangehensweise.

Wir verfolgen Achilles Lauf, bis seine Laufstreckenintervalle unendlich viele werden, über alle n wachsen, und addieren sie zu einer Gesamtlaufstrecke. Hat diese Laufstrecke eine endliche Länge ?

Wir haben eine vorgegebene Laufstrecke als Anfangswert: a = 90 Meter bis zur Schildkröte. Dort angekommen haben wir eine neue vorgegebene Strecke von 9 Metern = ${1 \over 10}\cdot$ 90 Meter, die formen wir um und geben dem Ergebnis einen Namen:

${\frac {9\,Meter}{90\,Meter}}={\frac {1}{10}}=q$ .

Die nächste Strecke wird 0,9 Meter lang sein, oder:

${\frac {1}{100}}\cdot 90\,Meter={\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}\cdot 90\,Meter=q\cdot q\cdot 90\,Meter=q^{2}\cdot 90\,Meter$ .

Wir folgern: die nächste Teilstrecke ist $q^{3}\cdot 90\,Meter$ lang, also 0,09 Meter. So finden wir als Laufstrecke S (n) für $n\in \mathbb {N}$ :

$S(n){=}a+a\cdot {q^{1}+a}\cdot q^{2}+a\cdot q^{3}{+...+}a\cdot q^{n}$

Und nach Umformung, weil wir unter geometrische Reihe nachschlagen:

$S(n)=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

für n=3 beispielsweise:

$S(3)=90\,Meter\cdot {\frac {1-{\frac {1}{10}}^{3}}{1-{\frac {1}{10}}}}=100\,Meter\cdot (1-0{,}001)=100\,Meter-10\;Zentimeter=99\,Meter\,90\,Zentimeter$ .

Nun machen wir n groß und sehen , daß $q^{n}$ kleiner wird, ja wir können sogar einen Grenzwertübergang (Limes)machen und sagen $q^{n}$ wird beliebig klein, unendlich klein, denn wenn es uns noch nicht klein genug ist, wählen wir ein größeres n bis es kleiner als unsere Vorgabe ( $\epsilon$ , wir nennen es jetzt epsilon) ist. Und dann verkleinern wir unsere Vorgabe weiter und finden trotzdem noch ein größeres n so daß $q^{n}$ auch kleiner als diese neue Vorgabe wird und können dies unendlich fortsetzen, also kann die Vorgabe gar nicht klein genug angegeben werden als daß wir $q^{n}$ mit entsprechendem n nicht noch kleiner kriegten. Also wir sagen wenn n gegen unendlich strebt, wird $q^{n}$ unendlich klein und strebt gegen Null, also verschwindet: $q^{n}$ < $\epsilon$ nach n aufgelöst indem wir logarithmieren: (Das Zeichen < dreht sich um, wenn wir durch $\log {\frac {1}{10}}$ dividieren, was, wegen 0<q<1, log q = $\log {\frac {1}{10}}$ = - 1 < 0 ist, also negativ)

n > ${\frac {\log \epsilon }{\log {\frac {1}{10}}}}$ ;

wenn wir also n größer als dieses Ergebnis machen kommen wir mit $q^{n}$ unter die Vorgabe $\epsilon$ . Wählen wir $\epsilon$ = 0,001, so erhalten wir n > 3 und müssen n = 4 wählen um $\epsilon$ zu unterbieten.

Für $n\rightarrow \infty$ gilt:

$\lim _{n\to \infty }S(n)=S=a\cdot {\frac {1}{1-q}}$ ;

wir setzen ein und sehen Achilles Laufstrecke bis zur Schildkröte endet und zwar im endlichen bei dem Wert

$S=a\cdot {\frac {1}{1-q}}=90\,Meter\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}=90\,Meter\cdot {\frac {1}{\frac {9}{10}}}=90\,Meter\cdot {\frac {10}{9}}=100\,Meter$ .

Also für Achilles geht diese Art von Rennen nur 100 Meter weit und wenn er nicht stehenbleibt, ist er nach 102 Metern nicht mehr hinter der Schildkröte sondern 1, 80 Meter vorne.

Es ist möglich mit unendlich(kleinen)en Größen zu rechnen, nicht anders als mit endlichen und nimmt uns die Furcht vor höherer Mathematik,und ihrer beispielsweise unbefriedigenden Erklärung eines Differentials, die sich auf solche Größen gründet. Die Schildkröte führt im Rennen natürlich nur auf zehn Metern, dann wird sie von Achilles eingeholt.

Links zu unendlichkleinen Größen

die sehr groß sein können