Maximales Ideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Sei R ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}\subset R$ ein Ideal. Wir nennen ${\mathfrak {m}}$ maximal, oder maximales Ideal, wenn für alle Ideale ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ gilt:

${\mathfrak {m}}\subsetneq {\mathfrak {a}}$ folgt: ${\mathfrak {a}}=R$

Oder in anderen Worten: ${\mathfrak {m}}$ ist maximal, wenn es nicht Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals ist.

Bemerkungen

• Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus $R$, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
• Bildet man den Faktorring $L=R/{\mathfrak {m}}$, so ist $L$ genau dann ein Körper, wenn ${\mathfrak {m}}$ maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
• Jedes Primideal ist maximal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
• Jedes Ideal ist in einem maximalen Ideal enthalten.

Beispiele

• Im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist jedes Primideal zugleich maximales Ideal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
• Sei ${\mathcal {C}}$ der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen. Betrachte den Ringhomorphismus $\alpha :{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,f\mapsto f(0)$ Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von $\alpha$ ist $\mathbb {R}$, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit $f(0)=0$, ein maximales Ideal.